GEOMETRIA Sostituendo il valore (o i valori) di m alla seconda equazione del sistema, determiniamo la retta tangente alla parabola. esempi O Scrivi l equazione della retta tangente alla parabola y = x2 2x 8 nel suo punto P(2 ; 8). ATTENZIONE! A Il parametro m R che compare nell equazione della retta è il coefficiente angolare variabile del fascio di rette di centro P. Se vogliamo che la retta sia tangente alla parabola, cioè che abbia due soluzioni coincidenti, dobbiamo porre il discriminante uguale a 0. Il parametro m diventa così l incognita dell equazione. Scriviamo l equazione della generica retta passante per P: y + 8 = m(x 2) y Impostiamo il sistema parabola-retta: y = x2 2x 8 x O 1 {y + 8 = m(x 2) Otteniamo l equazione risolvente che dipende dal parametro m: x2 (2 + m)x + 2m = 0 Affinché la retta r sia tangente alla parabola, il sistema deve avere due P soluzioni coincidenti e quindi il discriminante dell equazione risolvente deve essere nullo: (2 + m)2 4(2m) = 0 m1 = m2 = 2 Poiché P appartiene alla parabola, otteniamo una sola retta passante per P e tangente a essa: y + 8 = 2(x 2) y = 2x 12 O Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola y = x2 2x 8 e passanti per il punto P (0 ; 10). FISSA I CONCETTI Q Q Q Una retta può essere secante, tangente, oppure esterna a una parabola in base al valore positivo, nullo o negativo del discriminante del sistema di equazioni rettaparabola. Una retta parallela all asse di simmetria della parabola la interseca in un solo punto senza esserle tangente. Per determinare una retta tangente a una parabola si imposta il sistema di equazioni parabolaretta e si pone il discriminante uguale a 0. 430 La generica retta passante per P ha equazione: y + 10 = m(x 0) y = mx 10 Impostiamo il sistema parabola-retta: y = x2 2x 8 {y = mx 10 Otteniamo l equazione risolvente: x2 (2 + m)x + 2 = 0 Imponendo che il discriminante di questa equazione sia nullo abbiamo: m2 + 4m 4 = 0 __ m = 2 2 2 Poiché P è esterno alla parabola, vi sono infatti due rette, t e t , passanti per P e tangenti __ a essa: t y = ( 2 2 __ 2 )x 10 e y = ( 2 + 2 2 )x 10 y x O A B P t