8 Ellissi, iperboli, parabole esempio O Determina l equazione della parabola (di asse parallelo all asse y) con vertice in V(3 ; 2) e passante per il punto P(1 ; 4). y FISSA I CONCETTI Q P O 1 V x Q Per determinare l equazione della parabola y = ax2 + bx + c applichiamo il primo metodo: 4 = a (1)2 + b (1) + c passaggio per P 2 2 = a (3) + b (3) + c passaggio per V {ascissa del vertice b 3 = _ 2a a+b+c=4 9a + 3b + c = 2 {b = 6a 3 23 Da cui svolgendo i calcoli otteniamo a = __, b = 9, c = ___ da cui l equazio2 2 3 23 ne della parabola è perciò: y = __x2 9x + ___ 2 2 Q Q Una parabola con vertice nell origine (fuoco F (0 ; k) e direttrice y = k) ha equazione: 1 y = __ x 2 con 4k 1 a = __ y = ax 2 4k Equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse y è: y = ax2 + bx + c Vertice della parabola: b b2 4ac V __ ; _______ ( 2a 4a ) Equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse x è: x = ay2 + by + c Vertice della parabola: b2 4ac b V _______ ; __ ( 4a 2a) Parabola per tre punti: i coefficienti a, b, c si ottengono risolvendo il sistema: y 1 = a x 12 + b x 1 + c y 2 = a x 22 + b x 2 + c y 3 = a x 32 + b x 3 + c Le intersezioni tra retta e parabola Vogliamo ora determinare le intersezioni tra una retta e una parabola. Come per la circonferenza anche in questo caso occorre impostare il sistema formato dalle equazioni delle due curve. Supponiamo, in primo luogo, che le due equazioni siano esplicitate rispetto alla y: y = a x2 + bx + c parabola con asse parallelo all asse y {y = mx + q retta non parallela all asse y Possiamo determinare le intersezioni tra retta e parabola risolvendo il sistema di secondo grado con il metodo del sostituzione; scriviamo perciò l equazione risolvente del sistema: ax2 + bx + c = mx + q Possiamo avere due punti di intersezione distinti, due punti coincidenti in uno oppure nessun punto di intersezione a seconda che il discriminante di tale equazione sia positivo, uguale a 0 oppure negativo (fiLa retta interseca La retta è tangente gure a lato): la parabola in due punti. alla parabola. Il sistema ha due soluzioni reali distinte. Il sistema ha due soluzioni reali coincidenti. La retta non interseca la parabola. Il sistema non ha soluzioni reali. 427