8 Ellissi, iperboli, parabole 3 La parabola Esercizi da pag. 453 La parabola come luogo geometrico Abbiamo già definito la parabola come grafico di una funzione di secondo grado. In particolare le parabole che così possono essere espresse sono quelle che hanno l asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate. Vogliamo ora studiare questa curva indipendentemente dalla sua particolare posizione nel piano cartesiano. Ne studiamo, quindi, le caratteristiche, caratterizzandola come particolare luogo geometrico, così come fatto per la circonferenza, l ellisse e l iperbole. Analizziamo, quindi, alcune sue proprietà che possiamo ricavare da tale definizione. DEFINIZIONE Fissati nel piano una retta d e un punto F (non appartenente alla retta), la parabola si definisce come il luogo dei punti equidistanti dalla retta d e dal punto F: KEYWORDS K p parabola / parabola direttrice / directrix parabola = {punti P del piano | d(P, F) = d(P, d)} F P d La retta d viene detta direttrice della parabola; il punto F viene detto fuoco. Il nome fuoco attribuito ai particolari punti che permettono di definire ellisse, iperbole e parabola come luoghi geometrici non è casuale, ma giustificato dalla particolare caratteristica di tali punti nel riflettere eventuali raggi luminosi. Per la parabola questa caratteristica è particolarmente importante perché se la si immagina come una linea riflettente, ogni raggio passante per il fuoco F si riflette in un raggio parallelo al suo asse e, viceversa, ogni raggio parallelo all asse della parabola si riflette nel punto F. Proprio per questa proprietà focale di concentrare su di sé i raggi, che tale punto viene chiamato fuoco. La retta d è chiamata direttrice proprio perché stabilisce la direzione dei raggi riflessi (tutti perpendicolari a essa). F d I protagonisti della matematica La proprietà della parabola di tramutare un fascio di rette parallele in un fascio di rette passanti per un punto (e viceversa) è nota fin dall antichità e utilizzata per varie applicazioni. Molti dei fari all imbocco dei porti erano costituiti da una superficie parabolica riflettente e una torcia posta nel suo fuoco; si riusciva così a proiettare un fascio luminoso a grande distanza. Si tramanda anche la leggenda che lega il nome di Archimede (287-212 a.C.) all invenzione degli specchi ustori: Archimede contribuì alla difesa di Siracusa dall assedio della flotta romana, facendo installare degli specchi parabolici che concentravano i raggi solari (paralleli) nel loro fuoco; orientando gli specchi in modo tale che il punto F andasse a cadere lì dove si trovava un imbarcazione, questa, per l appunto, prendeva fuoco. Ancora oggi, del resto, per i fari delle automobili e per i riflettori si utilizzano pareti interne riflettenti a sezione parabolica; le antenne per la ricezione di onde elettromagnetiche hanno anch esse sezione a forma di parabola. Gli specchi e le antenne sono in realtà figure tridimensionali, chiamate paraboloidi, ottenute facendo ruotare di 180° una parabola attorno al suo asse di simmetria. 421