GEOMETRIA ATTENZIONE! A L i L iperbole non ha alcun punto in corrispondenza del valore x = 3 perché in tal caso il denominatore che compare nella sua equazione si annulla. Quindi possiamo assegnare alla variabile x un valore reale qualsiasi purché diverso da 3: {x R | x 3}. La retta x = 3 è un asintoto (verticale) dell iperbole. L altro asintoto (orizzontale) è la retta di equazione y = 2. esempio 2x 5 O Disegna l iperbole equilatera di equazione y = ______. x 3 Possiamo riscrivere il numeratore come 2x 6 + 1 in modo da avere la quantità 2x 6 doppia del denominatore e ottenere quindi: 2(x 3) 1 1 2x 6 + 1 2x 6 y = _________ = ______ + _____ = _______ + _____ x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 1 1 y = 2 + _____ y 2 = _____ x 3 x 3 1 Quindi, otteniamo l iperbole da quella di equazione y = __ con la traslazione x di vettore v = (+3 ; +2) di equazioni: x = x + 3 {y = y + 2 y L iperbole è simmetrica rispetto al punto P(3 ; 2); le rette y = 2 e x = 3 sono i suoi asintoti. P O 1 x Il precedente ragionamento può essere invertito. Una iperbole equilatera del tipo y= ax + b cx + d può sempre essere riportata, con un opportuna traslazione, a quella di equazione k y = __. x Dalla sua equazione possiamo ricavare le equazioni dei due asintoti e, quindi, il suo centro di simmetria. L asintoto verticale è in corrispondenza del valore di x per il quale il denominatore diventa uguale a 0: d x = __ c a L asintoto orizzontale è la retta y = __ che può essere individuato attraverso alcuc ne trasformazioni algebriche dell espressione della funzione come abbiamo visto nell esempio e che qui omettiamo; il suo centro di simmetria è il punto C di d a coordinate ( __ ; __). c c cx + d = 0 FISSA I CONCETTI Q Q Q Q 2 2 a2 b2 y x Iperbole con fuochi sull asse delle ordinate: __ + __ = 1 Iperbole equilatera: a = b; asintoti y = x Iperboli coniugate: hanno gli stessi asintoti Iperbole con assi paralleli agli assi cartesiani e centro in y y 0)2 (x x 0)2 (_ O (x0 ; y0): _ = 1 2 a b2 420 Q k y = _ (k R0) è una iperbole equilatera con asintoti x = 0 x ax + b e y = 0. Traslandola otteniamo una equazione del tipo y = _____ cx + d Questa iperbole ha: d asintoto verticale: x = __ c a__ asintoto orizzontale: y = c d a centro di simmetria: C ( __ ; __) c c