GEOMETRIA Iperboli coniugate KEYWORDS K ip iperbole coniugata / conjugated hyperbola Se l iperbole ha centro di simmetria nell origine del sistema di riferimento, ma i ______ 2 2 suoi fuochi sono sull asse delle ordinate con coordinate (0 ; a + b ), anche i vertici appartengono all asse delle ordinate con coordinate: (0 ; b), allora, applicando la definizione e svolgendo i calcoli in modo analogo a quanto fatto nel caso precedente, otteniamo una equazione analoga, ma con i segni cambiati: 2 x2 y __2 + __2 = 1 a b b Anche questa iperbole ha come asintoti le rette di equazione y = __ x. a y2 y2 x2 __ x2 __ __ __ Le equazioni 2 2 = 1 e 2 + 2 = 1 indicano pertanto due iperboli aventi a b a b gli stessi asintoti e che appartengono alle due diverse coppie di angoli opposti da essi formati: due iperboli di questo tipo sono dette iperboli coniugate. esempio O Disegna le iperboli di equazioni: 25x2 4y2 = 100 e 25x2 + 4y2 = 100 Dividendo per 100 otteniamo le equazioni in forma canonica delle due iper5 boli. Ambedue hanno come asintoti le rette di equazione y = __ x e sono tra 2 loro coniugate. La prima (fig. a.) ha come vertici i punti di coordinate ( 2 ; 0). La seconda (fig. b.) ha come vertici i punti di coordinate (0 ; 5). y O a. y 1 O x 1 x b. Iperbole equilatera ATTENZIONE! A Il rettangolo a cui l iperbole è tutta esterna è, in questo caso, un quadrato di lato a e area a 2. Se nell equazione dell iperbole a = b, ovvero se l equazione può essere scritta come x2 y2 = a2 (se i fuochi sono sull asse delle ascisse) oppure y2 x2 = a2 (se i fuochi sono sull asse delle ordinate), allora l iperbole è detta equilatera. Come già osservato a pagina 410, se una iperbole in posizione normale è equilatera il rettangolo a essa associato è un quadrato e i suoi asintoti sono le bisettrici dei quadranti del riferimento, di equazioni y = x. 416