8 Ellissi, iperboli, parabole 3 Poiché b2 = c2 a2 e c2 = 9, otteniamo la relazione 9 = 25k2, da cui k = __. 5 81 144 Abbiamo perciò a2 = ___ e b2 = ____. 25 25 PROVA TU P aa. Determina vertici, fuochi ed eccentricità dell iperbole di y2 equazione: x2 _ = 1 9 b. Disegna l iperbole di equazione 2 2 x y = 16. c. Scrivi l equazione dell iperbole con i fuochi nei punti _ _ F1( 6 ; 0) e F2( 6 ; 0) e avente un vertice di coordinate (2 ; 0). L equazione dell iperbole è: 25 2 25 2 _ _ x y =1 81 144 Anche l iperbole, come l ellisse, può presentarsi in posizione qualunque nel piano cartesiano. Consideriamo qui solo le iperboli con gli assi paralleli agli assi cartesiani. Supponiamo di dover determinare l equazione della seguente iperbole in cui abbiamo disegnato gli assi con linea tratteggiata. Dal grafico osserviamo che l iperbole ha centro di simmetria nel punto O (2 ; 3). quindi possibile con una traslazione di vettore v = ( 2 ; +3), riportare l iperbole in posizione normale con il centro di simmetria coincidente con l origine degli assi. y 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 y 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x O O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x O 2 x2 y L iperbole così ottenuta (tratteggiata in figura) avrebbe equazione: _ _ = 1. 9 4 Poiché in questo caso abbiamo l equazione dell iperbole dopo la trasformazione e vogliamo trovarne l equazione prima di essa, è sufficiente applicare le equaziox = x 2 ni dirette della traslazione che sono: { y = y + 3 (x 2)2 (y + 3)2 L equazione dell iperbole cercata è dunque: _ _ = 1 9 4 In generale è possibile determinare l equazione dell iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani e centro in un punto O (x0 ; y0): (x x0)2 (y y0)2 = 1 a2 b2 415