8 Ellissi, iperboli, parabole Poiché b2 = c2 a2, dall equazione possiamo determinare anche le coordinate dei fuochi ______ dell iperbole: ______ F1( a2 + b2 ; 0) F2(+ a2 + b2 ; 0) Nell equazione le variabili compaiono sempre elevate al quadrato; ciò significa che se P(x ; y) è un punto dell iperbole (e quindi x e y sono soluzioni dell equazione) anche i punti P ( x ; y), P ( x ; y), P (x ; y) appartengono all iperbole. Risulta così confermato che la curva è simmetrica rispetto all origine e ai due assi del riferimento. Tale iperbole è tutta esterna al rettangolo di dimensioni 2a e 2b, con centro nell origine e lati paralleli agli assi. Le rette su cui giacciono le diagonali del b b rettangolo (di equazioni y = __ x e y = __ x) sono gli asintoti dell iperbole che a a possono essere scritti in forma compatta come: y b y = __ x a A F1 b a B F2 x APPROFONDIMENTO A P dimostrare che l iperbole è esterna al rettangolo, possiamo limitarci a considerare solo il primo Per quadrante poiché la curva è simmetrica rispetto all origine. Esplicitiamo la sua equazione rispetto alla y e consideriamone soltanto i valori positivi: _____________ _ x2 b y = b 2 _2 1 = _ x 2 a 2 (a ) a Affinché la radice esista, deve essere x 2 a 2 e cioè x deve essere esterno all intervallo ( a ; a): ciò dimostra che nessun______ punto dell iperbole è interno al rettangolo. Inoltre, al crescere di x, cresce anche il valore di x 2 a2 e quindi la funzione (nel semiasse positivo delle ascisse) è sempre crescente: Approfondisci b Le rette y = __ x sono a gli asintoti dell iperbole y b P O a F2 x Per valutare l andamento di tale crescita, cerchiamo le intersezioni tra questo tratto di iperbole e la b retta OP a cui appartiene una delle diagonali del rettangolo di equazione: y = __x. Per determinare a le intersezioni occorre risolvere il seguente sistema: y = _ FISSA I CONCETTI b 2 2 _ x a a b y = _x a _ x 2 a 2 = x x2 a2 = x 2 Il sistema non ha soluzioni: la curva perciò non interseca mai la retta e si mantiene sempre al di sotto della diagonale del rettangolo. Considerando anche le altre parti del piano cartesiano, otteniamo quanto volevamo dimostrare. b Per dimostrare che effettivamente le rette y = __ x sono gli asintoti dell iperbole, fai riferimento a all Approfondimento online. Q Q Q Q Equazione dell iperbole: x__2 y__2 =1 a2 b2 Vertici dell iperbole: ______ ( a ; 0) Fuochi: ( a 2 + b 2 ; 0) Equazioni degli asintoti: b y = __x a 413