GEOMETRIA L equazione dell iperbole Vogliamo determinare l equazione dell iperbole. Per fare ciò fissiamo nel piano due punti F1 e F2 tra loro distanti 2c (con c R+) e scegliamo un riferimento cartesiano in modo tale che l asse delle ascisse coincida con la retta passante per F1 e F2 e quello delle ordinate con l asse del segmento F1F2. Scelto un numero reale positivo a < c ogni punto P(x ; y) dell iperbole deve verificare la condizione: |d(P, F1) d(P, F2)| = 2a y F1 c O P c F2 x In base alla formula della distanza tra due punti, sostituendo le coordinate abbiamo: | ________________________ __________________ | (x + c)2 + y2 (x c)2 + y2 = 2a Elevando al quadrato e semplificando,_______________________________________________________ otteniamo: 2 2 2 2 (x + c) + y + (x c) + y 2 ( (x + c)2 + y2 ) ( (x c)2 + y2 ) = 4 a2 __________________________________________________________ x2 + y2 + c2 2 a2 = ( x2 c2 )2 + 2 x2 y2 + 2 c2 y2 + y4 x4 + y4 + c4 + 4 a4 + 2 x2 y2 + 2 x2 c2 4 a2 x2 + 2 y2 c2 4 a2 y2 4 a2 c2 = = x4 + c4 2 x2 c2 + 2 x2 y2 + 2 c2 y2 + y4 ATTENZIONE! A Il grafico dell iperbole in posizione normale non è il grafico di una funzione. tuttavia possibile effettuare una rotazione in modo che uno dei due asintoti coincida con l asse delle ordinate e che quindi a ogni valore delle x 0 corrisponda un solo valore di y. y (c2 a2)x2 a2y2 = a2(c2 a2) Dividendo per a2(c2 a2) abbiamo: y2 x2 _ _ =1 a2 c2 a2 Poiché a < c, l espressione c2 a2 rappresenta un numero positivo, che indichiamo con b2. Otteniamo l equazione in forma canonica dell iperbole in posizione normale (con centro di simmetria nell origine e fuochi sull asse delle ascisse): 2 2 x _ y _ =1 a2 b2 x Vertici, fuochi e asintoti dell iperbole y O x 2 x2 y A partire dall equazione _2 _2 = 1, è possibile determinare i vertici, che sono a b i punti in cui l iperbole interseca l asse delle ascisse. Poiché y = 0 x = a, i punti: A( a ; 0) e B(a ; 0) sono i vertici dell iperbole. 412