8 Ellissi, iperboli, parabole dente dalla figura a. (qui sotto) d(P , F2) = d(P, F2) e d(P , F1) = d(P, F1) perché simmetrici rispetto a una retta. Inoltre anche P , simmetrico di P rispetto all asse del segmento F1F2, appartiene all iperbole, perché verifica la relazione simmetrica |d(P, F1) d(P, F2)| = k. Avendo due assi di simmetria perpendicolari, la curva è simmetrica centralmente e quindi anche P (simmetrico di P rispetto al punto di intersezione dei due assi) appartiene all iperbole. Tra due punti dell iperbole simmetrici rispetto all asse di simmetria di F1F2 (come P e P ) non può trovarsi alcun altro punto dell iperbole perché PF1F2 e P F1F2 sono gli unici due triangoli (in quel semipiano) di base F1F2 e altezza h che hanno la stessa differenza tra i lati (fig. b.). Così (poiché A e B sono due punti simmetrici rispetto all asse di simmetria di F1F2), nessun punto dell iperbole può trovarsi all interno della striscia di piano delimitata dalle rette per A e per B perpendicolari a F1F2 e qui disegnata in grigio (fig. c.): P P P P P P h F1 A B F2 P B F2 F1 A P P a. F1 A P P Analogamente a quanto fatto per l ellisse, poniamo: d(A, B) = k = 2a d(F1, F2) = 2c Il numero positivo a è la distanza di ognuno dei due vertici dal centro di simmetria; c è la distanza di ognuno dei due fuochi dal centro di simmetria, con a < c. Tracciamo la circonferenza di centro O (centro di simmetria) e raggio c (fig. d.). Essa interseca le due rette per A e B perpendicolari a F1F2 in quattro punti M, N, Q, R, che sono vertici di un rettangolo, che ha le diagonali lunghe 2c: M P R c F1 P N A M R F1 A F2 B Q P ATTENZIONE! A Il numero k non può essere maggiore della distanza tra i due fuochi, perché ogni lato di un triangolo è maggiore della differenza degli altri due. Se poi fosse k = d(F1, F2), allora il luogo sarebbe costituito dai due prolungamenti del segmento F1F2: F1 b O P c. b. P B F2 N F2 Se infine fosse k = 0, il luogo sarebbe l asse del segmento F1F2. B F2 2a Q d. Poniamo d(M, A) = b. Il rettangolo che si individua ha come base 2a e come altezza 2b. Per il teorema di Pitagora, inoltre, vale la relazione: c2 = a2 + b2 407