GEOMETRIA Esercizi da pag. 445 2 L iperbole L iperbole come luogo geometrico DEFINIZIONE Fissiamo nel piano due punti F1 e F2 e un numero reale positivo k (con k < d(F1, F2)). Definiamo iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante (e uguale a k) la differenza delle distanze da F1 e F2: KEYWORDS K iperbole / hyperbole ip iperbole = {punti P del piano | d(P, F1) d(P, F2) = k oppure d(P, F2) d(P, F1) = k} APPROFONDIMENTO A A Anche l iperbole ha una proprietà focale analoga a quella dell ellisse. Se ponessimo una sorgente luminosa in uno dei suoi due fuochi (F nel disegno) e considerassimo il ramo dell iperbole come una parete riflettente internamente, la luce si rifletterebbe andando verso l infinito, ma lungo la retta che passa per l altro fuoco (F ). F F Per esprimere simbolicamente che consideriamo sia i punti per i quali è costante la differenza d(P, F1) d(P, F2) sia quelli per i quali è costante la differenza d(P, F2) d(P, F1), utilizziamo il valore assoluto. L iperbole è quindi il luogo dei punti P del piano per cui la differenza in valore assoluto delle distanze dai fuochi è costante: |d(P, F 1) d(P, F 2)| = k I punti F1 e F2 sono detti fuochi dell iperbole. P F1 A B F2 r Vi sono soltanto due punti dell iperbole che appartengono al segmento F1F2; se li indichiamo con A e B, per essi deve essere: d(A, F2) d(A, F1) = k d(B, F1) d(B, F2) = k La distanza tra A e B può essere calcolata in due modi diversi: d(A, B) = d(A, F2) d(B, F2) d(A, B) = d(B, F1) d(A, F1) Sommando le due uguaglianze, otteniamo: 2d(A, B) = d(A, F2) d(B, F2) + d(B, F1) d(A, F1) = k + k Quindi: 2d(A, B) = 2k d(A, B) = k I due punti A e B sono quindi distanti k e sono simmetrici rispetto all asse di simmetria del segmento F1F2. Essi sono detti vertici dell iperbole. Se il punto P appartiene all iperbole, la differenza delle sue distanze dai fuochi è uguale a k. Possiamo per esempio scrivere la relazione |d(P, F2) d(P, F1)| = k. Quindi, anche il suo simmetrico rispetto al segmento F1F2, che indichiamo con P appartiene all iperbole perché verifica la stessa relazione. Infatti, come è evi406