8 Ellissi, iperboli, parabole Poiché in questo caso abbiamo l equazione dell ellisse dopo la trasformazione e vogliamo trovare l equazione dell ellisse prima di essa, è sufficiente applicare le equazioni dirette della trasformazione, che sono: x = x 3 {y = y + 1 L equazione dell ellisse cercata è perciò: y + 1)2 (_ x 3)2 (_ + =1 16 9 esempi O Determina l equazione dell ellisse qui disegnata: y O 1 O x possibile ricondurre l ellisse di centro O (4 ; 3) di semidiametri a = 6 e b = 4 a quella in posizione normale con una traslazione di vettore v = ( 4 ; 3), la cui equazione è: y 3)2 (_ x 4)2 (_ + =1 36 16 O Disegna l ellisse di equazione 4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 + 4y + 4) = 36. Riscriviamo l equazione evidenziando i quadrati dei binomi: 4(x + 2)2 + 9(y + 2)2 = 36 Dividendo per 36 otteniamo: y + 2)2 (_ x + 2)2 (_ + =1 9 4 L ellisse ha semidiametri a = 3 e b = 2 e centro di simmetria in O ( 2 ; 2). y O1 Equazione canonica dell ellisse: y2 x2 _ _ + =1 a2 b2 Q Fuochi: ___________ se a > b, ( a2 b2 ; 0) con c e=_ a ___________ se a < b, (0 ; b2 a2) con c e=_ b Q Equazione di una ellisse con assi paralleli agli assi di riferimento e centro in O (x0 ; y0): y y 0)2 x x 0)2 (_ (_ + =1 2 a b2 x O Se un ellisse ha assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani e il centro in un punto O (x0 ; y0), la sua equazione è quindi del tipo: (x x0)2 (y y0)2 + =1 a2 b2 FISSA I CONCETTI Q APPROFONDIMENTO A S Sviluppando i calcoli indicati a lato, otteniamo: b 2 ( x 2 2 x 0 x + x 20 ) + +a 2 ( y 2 2 y 0 y + y 20 ) = a 2 b 2 e quindi una espressione del tipo: b2 x 2 + a2 y 2 2 b2 x0 x 2 a 2 y0 y + +b 2 x 20 + a 2 y 20 a 2 b 2 = 0 è una equazione simile a quella della circonferenza di centro (x0 ; y0) e possiamo ricondurci a essa nel caso in cui a = b, cioè quando i coefficienti di x 2 e y 2 sono uguali. 405