ALGEBRA FISSA I CONCETTI Una frazione algebrica è una divisione tra polinomi. La condizione di esistenza di una frazione algebrica è l insieme dei valori numerici che, sostituiti alle lettere, rendono diverso da 0 il polinomio a denominatore. Il valore numerico di una frazione algebrica è il numero che si ottiene sostituendo alle lettere dei numeri per i quali la frazione è definita. 3x 2 O Determina, se possibile, il valore della frazione _ per i seguenti valori di x: 4x 2 _ 3 2 2 2 0 2 3 _ =_=_=0 a. x = _ otteniamo 2 8 8 3 _ _ 4 _ 3 3 3 b. x = 0 la frazione non è definita perché tale valore annulla il denominatore: x 0. La semplificazione di una frazione algebrica Quando è possibile, conviene sempre semplificare una frazione algebrica. Conviene cioè dividere sia il numeratore sia il denominatore per gli stessi fattori non nulli, che possono essere numeri, monomi oppure polinomi. Per individuare tali fattori occorre innanzitutto scomporre in fattori i polinomi che costituiscono il numeratore e il denominatore e determinare il loro MCD, che sarà il fattore che permette di effettuare la semplificazione. Per esempio, semplifichiamo la frazione: 2 2a 2 __________ a 2a + 1 Scomponiamo in fattori sia il numeratore sia il denominatore e otteniamo: 2____________ (a + 1)(a 1) (a 1)2 L unico fattore comune al numeratore e al denominatore (il loro MCD) è il binomio (a 1); dividiamo per tale termine: 2 (a + 1)(a 1) __________________ 2 (a + 1) (a 1) _ 2(a + 1) __________________ = = 2 2 (a 1) (a 1) (a 1) Non possiamo ulteriormente semplificare la frazione perché numeratore e denominatore non hanno altri fattori comuni diversi da 1: la frazione è ridotta ai minimi termini. La frazione trovata è equivalente a quella di partenza. In questo caso entrambe le frazioni algebriche (quella di partenza e quella semplificata) hanno significato per a 1. 2 ATTENZIONE! A A Anche se il risultato è corretto, la semplificazione seguente è comunque errata: x y)(x + y) x2 y2 (_________________ _ = =x y x+y (x + y) perché, mettendo le barrette di cancellazione sui singoli monomi, anziché sugli interi fattori polinomiali (x + y), si indica di aver eseguito delle operazioni (divisioni fra singoli addendi) che in una frazione algebrica non possono essere eseguite. esempi O Semplifica le seguenti frazioni algebriche. 3b(a + 2ab + b ) ______________ 3 b(a + b)2 3a2b + 6ab2 + 3b3 _____________________ a. ________________________ = = = 2 9a2b2 9b4 9b2(a2 b2) 3 9b (a b) (a + b) a+b = ___________ deve essere: b 0, a b e a b 3b(a b) 2 x2 y2 (x + y)(x y) b. _ = ___________ = x y x+y x+y 2 deve essere: x y O Indica quali delle seguenti semplificazioni sono sbagliate. Motiva la risposta. ( a b) (b + a) _ 1 a. _____________ = 2 a b (a b) (a + b) giusta, in quanto (b + a) e (a + b) sono binomi uguali per la proprietà commutativa dell addizione. Perché abbia significato deve essere: a b 0 e a + b 0 quindi a b e a b. 40