ARITMETICA E ALGEBRA Aritmetica e algebra Gli insiemi numerici Insieme dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } N è infinito: ha un primo elemento, ma non ha un ultimo elemento. Operazioni definite in N: addizione, moltiplicazione, divisione intera. Dati due numeri naturali a e b, con b 0, la divisione intera tra a e b con resto r (a div b = q con resto r) è il numero q tale che b q + r = a. Q Insieme dei numeri interi: Z = {0, +1, 1, +2, 2, } I numeri interi sono infiniti, ma non hanno un primo elemento. Operazioni definite in Z: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione intera. In Z è definita la funzione valore assoluto: dato un numero k Z il suo valore assoluto, indicato con |k|, è il numero stesso considerato senza segno. Valore assoluto di k: se k 0, |k| = k, se k < 0, |k| = k a Q Data una coppia ordinata di numeri interi (a ; b), con b 0, la scrittura __ è b detta frazione. a c Q Nell insieme delle frazioni è così definita la relazione rel: __ rel __ se e solo se b d a d = b c. una relazione di equivalenza. L insieme delle frazioni può ripartirsi in classi di frazioni equivalenti, ognuna delle quali definisce un numero razionale. Q L insieme dei numeri razionali: Q = {classi di frazioni equivalenti} Nell insieme dei numeri razionali Q sono definite le seguenti operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione. a Q La frazione __ indica il rapporto tra a e b, che può anche essere espresso con un b numero intero, decimale finito, decimale infinito e periodico. Q Non sempre però il rapporto tra due grandezze, per esempio due lunghezze, può essere espresso come frazione. In questi casi il loro rapporto è espresso da un numero non razionale, che è detto appunto irrazionale. Anche i numeri irrazionali sono infiniti. Il numero (pigreco) è un esempio di numero irrazionale. Q L insieme formato dall unione dell insieme dei numeri razionali e dell insieme dei numeri irrazionali è l insieme R dei numeri reali. Q Z R N razionali Q irrazionali I Le operazioni in R e proprietà Addizione a+b=b+a a b=b a a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Elemento neutro a+0=0+a=a a 1=1 a=a Elemento inverso opposto a perché a + ( a) = 0 reciproco se a 0 1 a 1 = __ perché a a 1 = 1 a Commutativa Associativa Elemento annullatore ------Distributiva 4 Moltiplicazione a 0=0 a=0 a (b + c) = a b + a c