GEOMETRIA Esercizi da pag. 438 1 L ellisse L ellisse come luogo geometrico DEFINIZIONE KEYWORDS K ell ellisse / ellipse fuochi dell ellisse / foci (focus points) of an ellipse Fissati nel piano due punti distinti F1 e F2 e scelto un numero reale positivo k (maggiore della distanza tra i due punti), definiamo ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante (e uguale a k) la somma delle distanze da F1 e F2: ellisse = {punti P del piano | d(P, F1) + d(P, F2) = k} I due punti F1 e F2 sono detti fuochi dell ellisse. APPROFONDIMENTO A Il nome di fuochi utilizzato per i due punti F1 e F2 deriva dal fatto che, se immaginiamo di collocare in uno dei due punti (F1) una sorgente luminosa e consideriamo l ellisse come una parete internamente riflettente, i raggi riflessi convergono nell altro punto (F2). F1 F2 Ciascun fuoco è il punto di convergenza dei raggi riflessi provenienti dall altro fuoco. Questa proprietà è detta proprietà focale dell ellisse. Per determinare geometricamente tutti i punti P di un ellisse, consideriamo il segmento F1F2 e tutti i triangoli di base F1F2 aventi il terzo vertice in un punto P appartenente all insieme descritto dalla definizione data: la somma delle rispettive distanze da F1 e F2 è costantemente uguale a k, Questi triangoli sono tra loro isoperimetrici: qualunque sia il punto P, hanno, infatti, lo stesso perimetro perché la base F1F2 è comune e la somma delle lunghezze degli altri due lati è sempre k (fig. a.). L area di tali triangoli, invece, varia al variare di P, perché varia la sua distanza dal segmento F1F2. L area è massima quando il punto P è a uguale distanza da F1 e F2 (e il triangolo è isoscele) (fig. b.); è uguale a zero quando il punto P è allineato con i due fuochi (e il triangolo degenera in un segmento). P P a. F1 b. F1 F2 F2 Tracciamo ora la retta r cui appartengono i due fuochi e la retta s, asse del segmento F1F2. Se P è un punto dell ellisse, lo sono anche P (suo simmetrico rispetto a r), P (simmetrico di P rispetto a s) e P (simmetrico centralmente di P rispetto al punto di intersezione di r e s): infatti, i quattro triangoli sono tra loro congruenti e, quindi, anche per questi altri punti la somma delle distanze dai due fuochi è uguale a k. s P P F1 F2 P 394 P r