GEOMETRIA 116 A(2 ; 6) B( 7 ; 3) C( 2 ; 8) 117 A(1 ; 3) B(3 ; 1) C(1 2 ; 1 2) __ [x2 + y2 + 4x 6y 12 = 0] __ [x2 + y2 2x 2y 2 = 0] Condizioni geometriche e procedimento analitico esercizio svolto Scrivi l equazione della circonferenza circoscritta al triangolo individuato dalle rette: x + y = 8, 2x + y = 14 e 3x + y = 22. Individuiamo le coordinate dei vertici del triangolo intersecando a due a due le tre rette: x+y=8 y=8 x x=6 { { A(6 ; 2) {2x + y = 14 y=2 2x + 8 x = 14 x+y=8 y=8 x { {3x + y = 22 3x + 8 x = 22 x=7 { y=1 2x + y = 14 y = 14 2x x=8 { { {3x + y = 22 y = 2 3x + 14 2x = 22 B(7 ; 1) C(8 ; 2) y A 2 1 O 2 6 D B 8 C x La circonferenza circoscritta al triangolo ha centro nel circocentro (punto di incontro degli assi). Troviamo quindi l asse del segmento AB, cioè la retta perpendicolare alla retta passante per A e per B e 13 3 che passa per il punto medio di AB: M(___ ; __). 2 2 yB yA _ 1 2 = = 1. Essendo m = 1 il coefficiente angolaLa retta per A e B ha coefficiente angolare m = _ xB xA 7 6 re della retta per A e per B, la perpendicolare avrà coefficiente angolare m = 1; la sua equazione è quindi: 13 3 y __ = x ___ y = x 5 2 2 15 1 Procediamo allo stesso modo per trovare l asse del segmento BC: N(___ ; __), m = 3 2 2 15 1 1 1 y + __ = __ (x ___) y = __ x 3 2 3 2 3 L intersezione D tra i due assi è il centro della circonferenza: y=x 5 1 x 5 = __ x 3 x=3 { 3 _1_ x 3 y = 2 y = { 3 {y = x 5 1 m = __ 3 Il punto D ha coordinate (3 ; 2). Il raggio della circonferenza si può trovare calcolando la distanza di D da uno qualunque dei tre vertici del triangolo: _______________ ______ d(A, D) = (6 3)2 + (2 + 2)2 = 9 + 16 = 5 La circonferenza ha quindi equazione: (x 3)2 + (y + 2)2 = 25 x2 + y2 6x + 4y 12 = 0 382