GEOMETRIA Date le seguenti equazioni di secondo grado in due incognite, stabilisci se sono equazioni di circonferenze. In caso affermativo, determinane centro e raggio. esercizio svolto x2 + y2 + 4x 4y + 6 = 0 L equazione x2 + y2 + 4x 4y + 6 = 0 rappresenta una circonferenza a2 b2 a b di raggio r = __ + __ c centro C( __ ; __) se e solo se è verificata 4 4 2 2 y ________________ C a2 b2 la condizione di esistenza del raggio: __ + __ c > 0. 4 4 1 16 16 Poiché a = 4, b = 4 e c = 6 otteniamo: ___ + ___ 6 = 2 > 0 4 4 O 1 x __ L equazione rappresenta una circonferenza di raggio r = 2 e centro C( 2 ; 2). 85 1 x2 + y2 x + y + __ = 0 4 86 x2 + y2 + x 2 = 0 87 x2 + y2 + 2x + 4y + 6 = 0 _1_ _1_ _1_ [C(2 ; 2); r = 2 ] _1_ _3_ [C( 2 ; 0); r = 2 ] [non è l equazione di una circonferenza] 88 3x2 + 3y2 3x 6y + 1 = 0 89 x2 + y2 6x + 4y + 14 = 0 _ 33 _1_ ____ [C(2 ; 1); r = 6 ] [non è l equazione di una circonferenza] 90 x2 + y2 + 6x 4y + 13 = 0 91 x2 y2 + 6x + 2y 8 = 0 92 x2 + y2 2x 4y + 6 = 0 [C( 3 ; 2); r = 0 non è una circonferenza] 2 2 __ [C(3 ; 1); r = 2 ] [non è una circonferenza] ___ 21 3 1 C __ ; __ ; r = ____ 2x + 2y + 3x + 2y 1 = 0 [ ( 4 2) 4 ] 2 2 94 x + y 10x + 16 = 0 [C(5 ; 0); r = 3] 2 x 95 __ + (9y 1)2 = 1 [non è una circonferenza] 4 93 Stabilisci per quali valori del parametro k R le seguenti equazioni di secondo grado in due incognite sono equazioni di circonferenze. esercizio svolto kx2 + (2k + 1)y2 + kx 2ky + 1 = 0 Il parametro k deve soddisfare due condizioni contemporaneamente: a. i coefficienti dei termini di secondo grado devono essere uguali; a2 b2 b. la condizione di esistenza del raggio: __ + __ c > 0 4 4 Dalla a. imponiamo che k = 2k + 1, da cui k = 1. Sostituendo tale valore nell equazione della circonferenza data otteniamo: x2 + y2 x + 2y + 1 = 0 da cui ricaviamo a = 1, b = 2, c = 1 1 4 1 Possiamo a questo punto verificare la b. che diventa __ + __ 1 = __ > 0. 4 4 4 k = 1 è pertanto il valore del parametro cercato. 96 kx2 + (2k 1)y2 + 2x y + 1 = 0 97 (k 2)x2 + 3ky2 + (2 k)x y 2 = 0 [nessuno] 380 [k = 1] x2 (k + 1)y2 + k(k + 2)xy 3 = 0 [k = 2] 1 99 2x2 + 2y2 (3 k)x + __ y (k + 1) = 0 2 [ogni k R] 98