7 Q Circonferenze Impostiamo il sistema formato dall equazione della circonferenza e da quella del fascio di rette per un punto: x2 + y2 + ax + by + c = 0 {y y 0 = m(x x 0 ) esplicitiamo y nella seconda equazione: y = m(x x0) + y0; sostituiamo e, sviluppando i calcoli, otteniamo l equazione risolvente di secondo grado nella variabile x che conterrà anche il parametro m; Q poniamo uguale a 0 il discriminante di tale equazione e otteniamo una nuova equazione di incognita m; Q risolvendo tale equazione otteniamo due distinti valori per m che, sostituiti nell equazione del fascio di rette, daranno le equazioni delle due rette tangenti cercate. Q Q esempio O Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x2 + y2 8x 4y + 10 = 0 condotte dal punto P( 6 ; 2) esterno. y Consideriamo l equazione del fascio di rette di centro P: y 2 = m(x + 6) P Impostiamo quindi il sistema: C 1 x2 + y2 8x 4y + 10 = 0 {y = mx + 6m + 2 O 1 x Sostituendo otteniamo l equazione risolvente del sistema: x2 + (mx + 6m + 2)2 8x 4(mx + 6m + 2) + 10 = 0 sviluppando i calcoli e ordinando nella variabile x otteniamo: (m2 + 1)x2 + 2(6m2 4)x + 36m2 + 6 = 0 Poiché vogliamo determinare le rette tangenti, poniamo il discriminante dell equazione uguale a 0: 4(6m2 4)2 4(m2 + 1)(36m2 + 6) = 0 Le soluzioni di questa equazione in m sono: ATTENZIONE! A N Nell esempio avremmo potuto utilizzare il discriminante ridotto: b 2 = (__) ac 2 1 1 m1 = __ e m2 = + __ 3 3 Sostituendo questi valori in y = mx + 6m + 2 otteniamo le equazioni delle rette tangenti cercate: 1 y = __ x 3 1 y = __ x + 4 3 Se il punto P appartiene alla circonferenza, allora la retta tangente condotta per P è unica. La procedura analitica per determinare tale tangente è identica a quella vista precedentemente. Impostato il sistema tra equazione della circonferenza ed equazione del fascio di rette di centro P e scritta la sua equazione risolvente, poniamo il discriminante uguale a 0. Questa equazione, di incognita m, avrà in tale caso, due soluzioni coincidenti. ATTENZIONE! A P S il punto P è interno alla Se circonferenza non esistono rette tangenti condotte per P alla circonferenza. Ciò è evidente graficamente e puoi verificarlo analiticamente perché l equazione risolvente il sistema tra la circonferenza e il fascio di rette per P ha il discriminante minore di 0. 369