GEOMETRIA esempi O Determina l equazione della tangente alla circonferenza: x2 + y2 4x 2y 5 = 0 nel suo punto P(3 ; 4). y Consideriamo l equazione del fascio di rette di centro P: y 4 = m(x 3) Impostiamo il sistema: 1 2 P C O 2 1 x x + y 4x 2y 5 = 0 {y = mx 3m + 4 L equazione risolvente è: x2 + (mx 3m + 4)2 4x 2(mx 3m + 4) 5 = 0 (1 + m2)x2 + 2( 3m2 + 3m 2)x + 9m2 18m + 3 = 0 Poniamo il discriminante uguale a 0, cioè: ( 3m2 + 3m 2)2 (1 + m2)(9m2 18m + 3) = 0 Sviluppati i calcoli otteniamo l equazione: 9m2 + 6m + 1 = 0 1 che ha due soluzioni coincidenti m = __. La tangente cercata ha perciò equa3 zione: 1 1 y 4 = __ (x 3) y = __ x + 5 3 3 O Determina l equazione della retta tangente alla circonferenza di centro C( 1 ; 3) nel suo punto P(3 ; 1). ATTENZIONE! A Il coefficiente angolare individuato da due punti P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) è: y2 y1 ______ x2 x1 Dato il coefficiente angolare m di una direzione, il coefficiente angolare della direzione a essa 1 perpendicolare è m = __. m Seguiamo un procedimento diverso da quello seguito sopra, ricordando che la tangente è perpendicolare al raggio condotto per il punto di tangenza. La retta che cerchiamo deve quindi essere perpendicolare al segmento CP. y 1 O 1 P x C FISSA I CONCETTI Q Rette tangenti da un punto esterno: sistema tra l equazione della circonferenza e il fascio di rette per P(x0 ; y0); = 0 per determinare i valori dei coefficienti angolari delle rette. Se il punto appartiene alla circonferenza questi due valori coincidono e la retta è tangente in un punto della circonferenza. 370 Il segmento CP ha come coefficiente angolare: 1 ( 3) _ 1 + 3 _ 1 ____________ = = 2 3 ( 1) 3+1 Il coefficiente angolare della direzione perpendicolare si ottiene da questo cambiandone il segno e considerando il suo reciproco: m = 2. L equazione della retta tangente passante per P è quindi: y + 1 = 2(x 3) y = 2x + 5