7 Circonferenze a. Osserviamo dal disegno che la retta a è esterna alla circonferenza. Impostiamo il sistema tra le equazioni della circonferenza e della retta a: y x2 + y2 6x 2y 15 = 0 {y = 2x + 8 Sostituendo, otteniamo l equazione risolvente: A x2 + (2x + 8)2 6x 2(2x + 8) 15 = 0 da cui: 5x2 + 22x + 33 = 0 Calcoliamo il discriminante: a b = 222 4 5 33 = 176 < 0 Poiché l equazione risolvente non ha soluzioni reali, il sistema stesso non ha soluzioni reali. Come avevamo osservato dal disegno, non esistono punti di intersezione tra la circonferenza e la retta a. Possiamo dire che la retta è esterna alla circonferenza. B C 1 O x 1 b. Determiniamo ora le intersezioni tra la circonferenza e la seconda retta; impostiamo perciò il sistema: x2 + y2 6x 2y 15 = 0 {y = 2x + 5 Sostituendo e calcolando, otteniamo l equazione risolvente: 5x2 + 10x = 0 dalla quale determiniamo le due soluzioni reali: x2 = 0 x1 = 2 Sostituendo tali valori nella seconda equazione del sistema, otteniamo le coordinate dei due punti di intersezione tra la retta e la circonferenza: A( 2 ; 1) e B(0 ; 5) La retta, in questo caso, è secante la circonferenza. O Determina i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione: x2 + y2 8x 6y + 15 = 0 e la retta di equazione: y = 3x + 1 Graficamente la situazione è illustrata nella figura a lato. Per risolvere il problema analiticamente, scriviamo il sistema: y A C 1 1 x x2 + y2 8x 6y + 15 = 0 {y = 3x + 1 L equazione risolvente è: x2 + (3x + 1)2 8x 6(3x + 1) + 15 = 0 da cui: x2 2x + 1 = 0 (x 1)2 = 0 L equazione ha una sola soluzione (cioè due coincidenti): x = 1. Sostituendo nella seconda equazione ottieniamo y = 4. Retta e circonferenza risultano così tangenti nel punto A(1 ; 4). 367