GEOMETRIA 3 Le intersezioni tra retta Esercizi da pag. 384 e circonferenza Rette secanti, tangenti o esterne a una circonferenza APPROFONDIMENTO A U retta secante ha due punti di Una intersezione con una circonferenza. Se allontaniamo tale retta dal centro, i due punti via via si avvicinano e la secante tende ad avvicinarsi alla tangente. t s3 s2 s1 Hai già studiato nel piano euclideo che le posizioni reciproche di una retta e una circonferenza possono essere di tre tipi: Q secanti: hanno due distinti punti di intersezione; Q tangenti: i due punti coincidono in uno solo; Q esterne: non hanno alcun punto di intersezione. Analiticamente, le intersezioni tra una circonferenza (di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0) e una retta (di equazione in forma esplicita y = mx + q) si trovano impostando il sistema formato dalle due equazioni: x2 + y2 + ax + by + c = 0 {y = mx + q La tangente è il caso limite. Essa ha un solo punto in comune con la circonferenza, ma poiché possiamo pensare questa situazione come situazione-limite delle precedenti, diciamo che la tangente ha in comune con la circonferenza due punti coincidenti. Consideriamo il punto di tangenza come un punto doppio in cui due intersezioni coincidono. KEYWORDS K e equazione risolvente / solving equation retta secante / secant (line) retta tangente / tangent (line) retta esterna / external (line) Tale sistema si risolve sostituendo alla y, nella prima equazione, l espressione mx + q. Otteniamo così l equazione risolvente del sistema: x2 + (mx + q)2 + ax + b(mx + q) + c = 0 Questa, opportunamente sviluppata e ordinata, è una equazione di secondo grado nell incognita x, che dà luogo a tre possibili casi: Q discriminante > 0: due soluzioni reali distinte due valori per x; Q discriminante = 0: due soluzioni reali coincidenti un valore per x; Q discriminante 0 due punti retta secante; discriminante = 0 due punti coincidenti in uno solo retta tangente; Q discriminante < 0 nessun punto retta esterna. Q esempi ATTENZIONE! A S la retta è parallela all asse y la Se sua equazione è del tipo x = k. In tal caso il sistema è: x2 + y2 + ax + by + c = 0 {x = k con equazione risolvente: y2 + by + k2 + ak + c = 0 366 O Determina i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione: x2 + y2 6x 2y 15 = 0 e le seguenti rette: a. y = 2x + 8 b. y = 2x + 5 Prima di risolvere il problema analiticamente, è utile rappresentare graficamente la situazione; disegniamo la circonferenza (di centro C(3 ; 1) e raggio r = 5) e le due rette.