7 Circonferenze O Determina l equazione della circonferenza il cui diametro ha per estremi i punti A( 2 ; 1) e B(4 ; 3). y Determiniamo il centro C della circonferenza come punto medio del segmento AB: 2 + 4 ascissa di C = ______ = 1 2 1+3 ordinata di C = _____ = 2 2 Il raggio ________________ si trova calcolando la distanza tra A e C (oppure tra B e C): ___ 2 2 r = (1 + 2) + (2 1) = 10 L equazione cercata è quindi (x 1)2 + (y 2)2 = 10, cioè x2 + y2 2x 4y 5 = 0 Talvolta può accadere che le informazioni non siano sufficienti a determinare univocamente una circonferenza, ma che ci siano più circonferenze che soddisfano le condizioni date. In questo caso parliamo di fascio di circonferenze. Se, per esempio, disponiamo solo delle seguenti due informazioni: il passaggio per il punto P(3 ; 1) e il raggio r = 2, non possiamo determinare univocamente la circonferenza perché ve ne sono infinite che soddisfano le condizioni date. Infatti, traduciamo analiticamente i dati del problema, indicando con (x0 ; y0) le coordinate del centro della circonferenza che vorremmo determinare: condizione che il raggio sia 2: (x x0)2 + (y y0)2 = 4 sostituendo le coordinate del punto P all equazione, cioè imponendo la condizione che la circonferenza passi per P, abbiamo: (3 x0)2 + ( 1 y0)2 = 4 Sviluppando i calcoli otteniamo una equazione in x0 e y0: 9 + x02 6x0+ 1 + y02+ 2y0 4 = 0, da cui x02 + y02 6x0 + 2y0 + 6 = 0 Questa equazione rappresenta una relazione che lega tutte le circonferenze passanti per P e aventi raggio 2. Abbiamo quindi ottenuto un insieme di circonferenze che variano a seconda dei valori x0 e y0, cioè del centro di ciascuna di esse: A C B 1 1 x Lezione INTERATTIVA Il cerchio e la sua quadratura APPROFONDIMENTO A L L equazione a fianco (in x0 e y0) è l equazione del luogo geometrico descrito dai centri di tutte le circonferenze con raggio assegnato e che passano per un determinato punto: tali centri descrivono una circonferenza, che nella figura sotto è disegnata in nero. y FISSA I CONCETTI Q x Q Come sono tra loro i centri di tutte queste circonferenze? Se consideriamo x0 e y0 come variabili, l equazione ottenuta è proprio quella della circonferenza di centro (3 ; 1) (in nero in figura) e raggio 2. I centri delle circonferenze dell insieme sono tutti lungo questa circonferenza che è il luogo geometrico dei centri delle circonferenze passanti per P e con raggio 2. Circonferenza per tre punti: occorre impostare un sistema di tre equazioni, in ognuna delle quali le incognite sono i tre coefficienti a, b, c; per via grafica: utilizzando gli assi dei segmenti troviamo il centro, poi calcoliamo il raggio come distanza centro-punto noto. Circonferenza noto il centro e un punto: dalle coordinate del centro ricaviamo a e b e poi imponiamo il passaggio per il punto per determinare c oppure determiniamo il raggio calcolando la distanza tra due punti. 365