GEOMETRIA y C A O APPROFONDIMENTO A P procedimento analitico Per intendiamo un procedimento che utilizza un sistema di riferimento cartesiano e nel quale, quindi, tutte le informazioni sono tradotte in dati numerici e algebrici: coordinate di punti, equazioni, sistemi, disequazioni ecc. P L equazione della circonferenza può essere determinata anche per via grafica. Sappiamo, infatti, che per tre punti distinti non allineati passa una e una sola circonferenza il cui centro è il punto di intersezione degli B assi individuati dai segmenti aventi per estremi i punti assegnati, e il cui raggio è la distanza tra il centro e uno qualunque dei punti. x Disegniamo in un sistema Oxy i punti assegnati A, B, C (vedi esempio precedente) e tracciamo gli assi dei segmenti AC e AB. Dalla loro intersezione determiniamo il centro P (3 ; 1). Ricaviamo il raggio 5 come distanza di P da C: r = d(P, C) = 5. L equazione della circonferenza di centro P e raggio PC è allora: (x 3)2 + (y + 1)2 = 25 Sviluppando i calcoli otteniamo nuovamente l equazione: x2 + y2 6x + 2y 15 = 0 Quindi, ogni volta che le informazioni geometriche sono sufficienti a individuare una e una sola circonferenza, allora esiste sia un procedimento grafico sia un procedimento analitico per determinarne l equazione. Non dobbiamo prendere alla lettera il fatto che occorrano esattamente tre informazioni per determinare l equazione di una circonferenza; a volte, infatti, una sola informazione può fornirci due delle tre condizioni necessarie. Per esempio se conosciamo l informazione coordinate del centro, abbiamo le condizioni relative ai coefficienti a e b dell equazione; se conosciamo il centro e un punto, possiamo determinare il raggio come distanza tra il punto e il centro. esempi O Determina l equazione della circonferenza di centro C( 1 ; 3) e passante per il punto P(4 ; 5). y P C 1 O 1 Il raggio ________________ della circonferenza è dato dalla lunghezza di CP. ___ 2 2 r = (4 + 1) + (5 3) = 29 Conoscendone centro e raggio, scriviamo la sua equazione: (x + 1)2 + (y 3)2 = 29 Cioè: x2 + y2 + 2x 6y 19 = 0 364 x