GEOMETRIA Centro e raggio di una circonferenza data la sua equazione ATTENZIONE! A N Nell insieme R un radicale con indice pari esiste se e solo se il radicando è un numero non negativo. Nel caso del raggio della circonferenza dobbiamo escludere che possa essere 0, in quanto una circonferenza di raggio 0 si riduce a un punto perché coincide con il suo centro. Data l equazione di secondo grado nelle variabili x e y del tipo x2 + y2 + ax + by + c = 0, possiamo chiederci se essa effettivamente rappresenti una circonferenza e quali siano le coordinate del centro e la misura del raggio. In base alle sostituzioni precedentemente effettuate: a = 2x0, b = 2y0, c = x02 + y02 r2. Q Dalle espressioni a = 2x0, b = 2y0 ricaviamo le coordinate del centro: a b x0 = __ y0 = __ 2 2 2 2 2 Q Dall espressione c = x0 + y0 r e dalle espressioni ricavate al punto prece______________ ___________ a2 b2 2 2 dente, troviamo il raggio: r = x0 + y0 c = _ + _ c che è definito solo 4 4 2 2 a b se l espressione sotto radice è positiva: __ + __ c > 0 a2 + b2 > 4c 4 4 2 2 b a La condizione __ + __ c > 0 (o a2 + b2 > 4c) è detta condizione di esistenza del 4 4 raggio; questa condizione garantisce che l equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 sia effettivamente quella di una circonferenza. KEYWORDS K c condizione di esistenza / condition of existence esempi O Determina centro e raggio della circonferenza di equazione: x2 + y2 + 3x 2y + 1 = 0 Confrontando l equazione data con l equazione generale della circonferenza, ricaviamo: 3 a = 3 x0 = _ b = 2 y 0 = 1 c=1 2 _____________________________ 3 3 2 3 Quindi il centro ha coordinate ( __ ; 1) e il raggio è: ( _) + 12 1 = _ 2 2 2 O Determina centro e raggio della circonferenza di equazione: 4x2 + 4y2 + 12x 8y 51 = 0 Osserviamo che nell equazione i termini di secondo grado non hanno coefficiente 1, ma sono uguali a 4. Per prima cosa dividiamo tutti i termini dell equazione per 4 e riscriviamo l equazione con i coefficienti di x2 e y2 uguali a 1: 51 x2 + y2 + 3x 2y ___ = 0 4 3 Il centro ha coordinate ( __ ; 1) e il raggio è: ________________ 2 9 51 _ +1+_=4 4 4 L equazione di una circonferenza è quindi una equazione di secondo grado in x e y in cui: x2 e y2 hanno entrambi coefficiente uguale a 1 (o, meglio, hanno coefficiente numerico uguale; se esso è diverso da 1 basta dividere per tale coefficiente ogni termine dell equazione); Q non vi sono termini in cui le variabili x e y sono moltiplicate tra loro; Q nell equazione compaiono tre coefficienti a, b, c che dipendono dalle coordinate del centro e dal raggio; Q i tre numeri a, b, c devono soddisfare la condizione di esistenza del raggio: Q a2 + b2 > 4c 360