7 Circonferenze Equazione generale della circonferenza Consideriamo ora una circonferenza di raggio r e con il centro in un generico punto del piano C(x0 ; y0). Per determinare la sua equazione, effettuiamo una traslazione di vettore v = ( x0 ; y0), descritta dalle seguenti equazioni: x = x x 0 y {y = y y 0 C (x0 ; y0) O x Nelle nuove coordinate, la circonferenza ha centro nell origine e la sua equazione è quindi: x 2 + y 2 = r2 Sostituendo al posto di x e y le espressioni date dalle equazioni della traslazione, otteniamo: (x x0)2 + (y y0)2 = r2 Questa è quindi l equazione della circonferenza di centro C(x0 ; y0) e raggio r. Dall equazione (x x0)2 + (y y0)2 = r2, sviluppando i calcoli, otteniamo: x2 + x02 2x0x + y2 + y02 2y0y = r2 x2 + y2 2x0x 2y0y + x02 + y02 r2 = 0 Le lettere x e y rappresentano le variabili dell equazione, le altre lettere (x0, y0 e r) rappresentano valori costanti e, in ogni esempio particolare, sono dei numeri. Poniamo: 2y0 = b x02 + y02 r2 = c 2x0 = a Sostituendo questi valori, l equazione precedente diventa: x2 + y2 + ax + by + c = 0 Questa equazione è detta: equazione cartesiana della circonferenza o equazione generale della circonferenza. esempi O Scrivi l equazione della circonferenza di centro C(1 ; 2) e raggio r = 3. Abbiamo: (x 1)2 + (y + 2)2 = 9 Sviluppando i calcoli otteniamo: x2 + y2 2x + 4y 4 = 0 APPROFONDIMENTO A O Osserviamo che l equazione ottenuta è un equazione di secondo grado in due incognite x e y. I termini di secondo grado sono soltanto x2 e y2 e hanno come coefficiente 1; non è presente il termine xy. I termini di secondo grado possono avere anche coefficiente diverso da 1 purché sia lo stesso per entrambi: kx2 +ky2 + ax + by + c = 0 con k R. In tal caso dividiamo tutti i termini per k e riportiamo l equazione alla sua forma generale. O Scrivi l equazione della circonferenza disegnata in figura. Dal grafico si vede che la circonferenza ha centro C( 3 ; 1) e che passa per l origine. Possiamo ricavare il raggio___determinando la distanza d(C, O) = 10. L equazione della circonferenza è: (x + 3)2 + (y 1)2 = 10 x2 + y2 + 6x 2y = 0 PROVA TU P S Scrivi l equazione della circonferenza di centro 1 1 C( 3 ; __) e raggio __. 2 2 y C 3 1 O 1 x FISSA I CONCETTI Equazione generale della circonferenza: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 359