GEOMETRIA Esercizi da pag. 376 1 L equazione della circonferenza ATTENZIONE! A Ri Ricorda che la circonferenza è il luogo dei punti P del piano aventi la stessa distanza r da un punto C: {punti P del piano | d(P, C) = r} Nel biennio hai studiato la circonferenza e le relative proprietà in ambiente euclideo. La circonferenza è una figura piana formata da punti e poiché il piano cartesiano permette di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti e coppie di numeri reali e di associare a una linea una espressione algebrica, in questa unità studieremo come sia possibile assegnare a ogni circonferenza un equazione di secondo grado in due variabili. L equazione della circonferenza con centro nell origine y P (x ; y) x O KEYWORDS K ci circonferenza / circumference centro / center raggio / radius Consideriamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Determiniamo l equazione di una circonferenza con centro nell origine e raggio r. Indicato con P(x ; y) un punto generico di tale circonferenza, le sue coordinate, per il teorema di Pitagora, devono soddisfare la seguente relazione x2 + y2 = r2. Verifichiamo che la relazione x2 + y2 = r2 definisce l equazione di una circonferenza con centro nell origine e raggio r. Ogni punto le cui coordinate verificano questa equazione di secondo grado in due incognite appartiene a tale circonferenza, poiché la sua distanza dall origine è uguale a r. Viceversa, se le sue coordinate non sono una coppia di soluzioni dell equazione, allora il punto non appartiene alla circonferenza e la sua distanza dall origine è diversa da r: è minore se è un punto interno alla circonferenza, maggiore se è un punto esterno. esempio y O Scrivi l equazione della circonferenza di centro l origine e raggio 5 e determina: __ ___ a. quale tra i punti A(2 ; 5), B(2 ; 21), C(2 ; 5) appartiene alla circonferenza, qual è a essa interno e quale esterno; b. quali sono i punti di ascissa 4 appartenenti alla circonferenza. C A P2 1 O 1 x B P1 PROVA TU P S Scrivi l equazione della circonferenza_di centro l origine e raggio r = 3. Il punto A(1 ; 2) appartiene alla circonferenza? FISSA I CONCETTI Equazione della circonferenza di centro l origine O e raggio r: x2 + y2 = r2 358 L equazione della circonferenza è: x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 25 a. Sostituendo nell equazione le coordinate del punto A otteniamo la proposizione falsa 4 + 5 = 25; le coordinate di A non sono soluzione dell equazione e quindi A non appartiene alla circonferenza. Poiché la distanza _____ d(O, A) = 4 + 5 = 3 è minore del raggio (r = 5), A è interno alla circonferenza (figura a lato). Il punto B appartiene invece alla circonferenza perché le sue coordinate soddisfano l equazione (4 + 21 = 25), mentre il punto C non appartiene alla circonferenza (4 + 25 > 25) e dal momento che la distanza ___ d(O, C) = 29 > r, il punto C è esterno. b. Sostituendo 4 a x otteniamo: 42 + y2 = 25 y2 = 9 y1 = 3, y2 = 3 Come possiamo vedere dal disegno, i punti della circonferenza di ascissa 4 sono due, P1(4 ; 3) e P2(4 ; +3), simmetrici rispetto all asse delle ascisse.