1 Operare con numeri e lettere esempio O Scomponi in fattori i seguenti polinomi, mettendo dapprima in evidenza. a. 12x3y 3xy = 3xy (4x2 1) = 3xy (2x + 1)(2x 1) MCD (12x 3y, 3xy) = 3xy differenza di quadrati (S 2 T 2) = (S + T )(S T ) b. 24x4y 36x3y + 18x2y 3xy = 3xy(8x3 12x2 + 6x 1) = 3xy (2x 1)3 c. 5x4y 45x2y7 = 5x2y(x2 9y6) = 5x2y(x + 3y3)(x 3y3) d. 80a5b2 120a3b5 + 45ab8 = 5ab2(16a4 24a2b3 + 9b6) = = 5ab2 (4a2 3b3)2 Abbiamo già osservato che pur fissando l ambiente di riferimento (Q), un polinomio può essere scomposto in fattori in diversi modi. Infatti: Q possiamo decidere di mettere in evidenza un monomio con coefficiente numerico positivo oppure negativo. Per esempio: 3ab2 6a2b = 3ab(b 2a) oppure: 3ab2 6a2b = 3ab( b + 2a) Q il quadrato di un binomio può essere scritto in due modi, con segni opposti. Per esempio: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ma anche: a2 + 2ab + b2 = ( a b)2 Q poiché non ci limitiamo a polinomi con coefficienti interi, è possibile fare scelte diverse nel mettere in evidenza i coefficienti numerici. Per esempio: _1_ x2 y2 = _1_ x y (2 4 _1_ )(2 x + y) ma anche: _1_ x2 y2 = _1_ (x2 4y2) = _1_ (x 2y)(x + 2y) 4 4 4 esempio O Nell insieme Q, scomponi in fattori i seguenti polinomi. a. 2x4 + 2x3 + 4x2 + 4x Il MCD fra i monomi è 2x e lo mettiamo in evidenza: 2x4 + 2x3 + 4x2 + 4x = 2x(x3 + x2 + 2x + 2) Il quadrinomio tra parentesi si annulla per x = 1 quindi possiamo dividerlo per x + 1 ottenendo: x3 + x2 + 2x + 2 = (x + 1)(x2 + 2) Il polinomio dato risulta così scomposto: 2x4 + 2x3 + 4x2 + 4x = 2x(x + 1)(x2 + 2) b. a8 b8 a8 b8 = (a4 + b4)(a4 b4) = (a4 + b4)(a2 + b2)(a + b)(a b); i binomi a4 + b4 e a2 + b2 non sono scomponibili in Q. c. a5 + 2a4 a 2 Mettendo in evidenza a tra il primo e il terzo termine e 2 tra il secondo e il quarto, otteniamo: a5 + 2a4 a 2 = a(a4 1) + 2(a4 1) = (a + 2)(a4 1) = = (a + 2)(a2 + 1)(a2 1) = (a + 2)(a2 + 1)(a + 1)(a 1) 33