ALGEBRA PROVA TU P S Scomponi in fattori le seguenti somme: a. 1 + 8b 3 b. a 3b 3 + x 3 esempio O Scomponi in fattori, se possibile, le seguenti somme di due potenze con lo stesso esponente: a. x 7 + 1 = (x + 1) (x 6 x 5 + x 4 x 3 + x 2 x + 1) Il polinomio x 6 x 5 + x 4 x 3 + x 2 x + 1 non è ulteriormente scomponibile. 5 b. x + 243 = x5 + 35 = (x + 3)(x4 3x3 + 9x2 27x + 81) Il polinomio x4 3x3 + 9x2 27x + 81 non è ulteriormente scomponibile. 4 4 c. x + y una somma di potenze il cui esponente è 4. Il binomio x4 + y4 non è scomponibile in Q. 6 d. a + 64 = (a 2) 3 + (4)3 = (a 2 + 4) (a 4 4a 2 + 16) Come scomporre in fattori un polinomio Come abbiamo visto, per scomporre in fattori un polinomio non esiste una procedura fissa e unica, ma a seconda dei casi dobbiamo riconoscere quali tecniche è opportuno usare e, fra queste, distinguere la più diretta. Bisogna inoltre avere sempre chiaro qual è l ambiente numerico in cui effettuiamo la scomposizione. Le diverse tecniche per scomporre in fattori un polinomio possono combinarsi tra loro fino ad arrivare alla sua scomposizione finale. Supponiamo, per esempio, di voler scomporre in fattori il polinomio: 12x3y 12x2y + 3xy Come primo passo mettiamo in evidenza 3xy, che è il MCD tra i monomi che costituiscono il polinomio: 12x3y 12x2y + 3xy = 3xy (4x2 4x + 1) Osserviamo ora che il trinomio tra parentesi è il quadrato del binomio 2x 1. Abbiamo perciò: 12x3y 12x2y + 3xy = 3xy (4x2 4x + 1) = 3xy (2x 1)2 In sintesi, per scomporre un polinomio possiamo procedere in questo modo: 1. se è possibile mettiamo in evidenza (eventualmente per parti) i termini comuni; 2. successivamente, osserviamo da quanti termini è composto il polinomio tra parentesi: Q se è un binomio, analizziamo se è la differenza di due quadrati oppure se è un binomio del tipo S n T n; Q se è un trinomio, analizziamo se è il quadrato di un binomio oppure se è un trinomio particolare; Q se è un quadrinomio, analizziamo se è il cubo di un binomio; Q se è un polinomio a 6 termini, analizziamo se è il quadrato di un trinomio; 3. applichiamo il teorema di Ruffini; 4. proseguiamo fino a che è possibile scomporre con le tecniche conosciute. 32