1 Operare con numeri e lettere S4 T 4 = (S T)(S3 + S2T + ST 2 + T 3) S5 T 5 = (S T)(S4 + S3T + S2T 2 + ST 3 + T 4) ... Il quoziente che si ottiene dividendo per S T è un polinomio omogeneo di grado n 1, ordinato secondo le potenze decrescenti di S e crescenti di T; i coefficienti sono tutti positivi: S n T n = (S T)(S n 1 + S n 2 T + S n 3T 2 + S n 4T 3 + + ST n 2 + T n 1) Se nel binomio Sn Tn sostituiamo T alla variabile S, otteniamo 0 se e solo se ( T)n = Tn, cioè se e solo se n è pari. Pertanto: il binomio S n T n è divisibile per S + T, se e solo se l esponente n N è pari. ATTENZIONE! A I casi n = 2 e n = 3 sono rispettivamente la differenza di quadrati e la differenza di cubi che già conosci. Q Se n è pari, conviene scomporre la differenza di due potenze con lo stesso esponente considerandola una differenza di due quadrati: Q _n_ _n_ _n_ _n_ S n T n = (S 2 + T 2 )(S 2 T 2 ) Si controlla poi se i due binomi così ottenuti, ancora dello stesso tipo, sono ulteriormente scomponibili. esempio O Scomponi in fattori i seguenti binomi, esprimibili come differenze di potenze aventi lo stesso esponente: a. x 5 1 = (x 1) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) b. a 6 b 6 64 = (a 3 b 3 8) (a 3 b 3 + 8 ) = = (ab 2) (a 2 b 2 + 2ab + 4) (ab + 2) (a 2 b 2 2ab + 4) c. a4 81 = (a2 + 9)(a2 9) = (a2 + 9)(a + 3)(a 3) d. x5 243 = x5 243 = x5 35 = (x 3)(x4 + 3x3 + 9x2 + 27x + 81) La somma di potenze del tipo S n + T n Possiamo applicare il teorema di Ruffini per scomporre un binomio del tipo: Sn + T n, APPROFONDIMENTO A con n N Se nel binomio sostituiamo T alla variabile S otteniamo T n + T n = 2T n 0, per T 0. Pertanto: il binomio S n + T n non è divisibile per S T. Se nel binomio sostituiamo T alla variabile S, otteniamo ( T )n + T n che è uguale a 0 se ( T )n = T n. Ciò è vero se e solo se n è dispari. Pertanto: il binomio S n + T n è divisibile per S + T se e solo se l esponente n N è dispari. Dividendo il binomio per S + T abbiamo le seguenti scomposizioni: 3 3 2 2 S + T = (S + T )(S ST + T ) S5 + T 5 = (S + T)(S4 S3T + S2T 2 ST 3 + T 4) ... Il quoziente che otteniamo dividendo per S + T è un polinomio omogeneo di grado n 1, ordinato secondo le potenze decrescenti di S e crescenti di T; i coefficienti hanno segno alternativamente positivo e negativo: S n + T n = (S + T)(S n 1 S n 2T + S n 3T 2 S n 4T 3 + ST n 2 + T n 1) S n è pari il binomio S n + T n non Se è divisibile per S + T; è però scomponibile se (e solo se) n ha come divisore un numero dispari: k diverso da 1. Se, invece, tutti i divisori di n sono pari il binomio è irriducibile. Per esempio, S 4 + T 4 è irriducibile mentre S 6 + T 6 può essere scomposto: S 6 + T 6 = (S 2)3 + (T 2)3 = = (S 2 + T 2)((S 2)2 S 2T 2 + (T 2)2) = = (S 2 + T 2)(S 4 S 2T 2 + T 4) FISSA I CONCETTI Scomposizione della somma o differenza di potenze di grado n: n n n 1 Q S T = (S T )(S + + S n 2T + S n 3T 2 + + + ST n 2 + T n 1) n n Q Se n è pari S + T è scomponible solo se n ha un divisore dispari n n Q Se n è dispari S + T = = (S + T )(S n 1 S n 2T + + S n 3T 2 ST n 2 + T n 1) 31