ALGEBRA Somma o differenza di cubi KEYWORDS K s somma (o differenza) di cubi / sum (or difference) of cubes Grazie al teorema di Ruffini è possibile scomporre facilmente un polinomio formato dalla somma (o dalla differenza) di due cubi del tipo: S3 + T3 (oppure S3 T3) Dato il binomio S3 + T3, se sostituiamo T alla variabile S, otteniamo ( T)3 + T3 = 0. Per il teorema di Ruffini T è uno zero del polinomio e quindi possiamo eseguire la divisione: 1 T ATTENZIONE! A I trinomi t S 2 ST + T 2 sono detti trinomio falso quadrato poiché sono formati da due monomi elevati alla seconda e dal loro prodotto, non il doppio prodotto come nel quadrato di binomio (da qui l appellativo di falso). Questi trinomi non sono ulteriormente scomponibili. PROVA TU P S Scomponi i seguenti binomi somma o differenza di cubi: a. x 3 + 125 b. 27a3 8 FISSA I CONCETTI Scomposizione della somma o differenza di cubi: S 3 + T 3 = (S + T )(S 2 ST +T 2) S 3 T 3 = (S T )(S 2 + ST +T 2) 1 0 0 +T3 T T2 T3 T T2 0 La scomposizione del binomio risulta: S3 + T3 = (S + T)(S2 ST + T2) Anche in questo caso possiamo verificare la scomposizione svolgendo i calcoli a destra dell uguaglianza: (S + T)(S2 ST + T2) = S3 S2T + ST2 + S2T ST2 + T3 = S3 + T3 Qualora il polinomio sia formato da una differenza di due cubi, la formula rimane valida con delle piccole variazioni di segno: S3 T3 = S3 + ( T)3 = ((S + ( T))(S2 S ( T) + ( T)2) = = (S T)(S2 + ST + T2) Puoi dimostrare come esercizio che, anche in questo caso, è possibile applicare la scomposizione grazie al teorema di Ruffini (T è uno zero del binomio). esempio O Scomponi in fattori i seguenti polinomi. a. 8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y)((2x)2 (2x)(3y) + (3y)2) = = (2x + 3y)(4x2 6xy + 9y2) 3 1 1 1 1 1 b. _ a6 8 b3 = (_ a2) (2b)3 = (_ a2 2b)(_ a4 + _ a2 b + 4 b2) 4 4 2 64 16 c. 64x6 27y3 = (64x6 + 27y3) = ((4x2)3 + (3y)3) = = (4x2 + 3y)(16x4 12x2y + 9y2) Binomi somma o differenza di monomi di grado n (S n T n) La differenza di potenze del tipo S n T n Anche in questo caso possiamo applicare il teorema di Ruffini e scomporre un binomio del tipo: Sn T n, con n N Se nel binomio sostituiamo T alla variabile S otteniamo 0. Pertanto: il binomio S n T n è divisibile per S T, qualunque sia l esponente n N. Effettuando le divisioni otteniamo le seguenti scomposizioni: S2 T 2 = (S T)(S + T) S3 T 3 = (S T)(S2 + ST + T 2) 30