1 Operare con numeri e lettere Esiste un criterio che permette di circoscrivere la ricerca ai possibili zeri del polinomio che sono numeri razionali, stabilito dal seguente teorema. TEOREMA (zeri razionali di un polinomio p(x)) s Dato un polinomio p(x) con coefficienti interi, i numeri razionali k = _, t che sono suoi zeri, sono necessariamente tra quelli per cui: il numeratore s divide il termine noto; Q il denominatore t divide il coefficiente del termine di grado massimo. Q Approfondisci Dimostrazione del teorema (zeri razionali di un polinomio p(x)) esempio O Scomponi in fattori il polinomio, trovando i suoi zeri razionali. p(x) = 3x3 x2 6x + 2 Considerando anche i numeri negativi, i divisori del termine noto (2) sono: 1, +1, 2, +2 I divisori del coefficiente del termine di grado massimo (3) sono: 1, +1, 3, +3 I possibili zeri razionali del polinomio sono quindi tra i seguenti: 1 2 1, 2, __, __ 3 3 Calcoliamo allora diversi valori del polinomio fino a che non troviamo uno zero: p( 1) = 4 p(1) = 2 Avendo ottenuto un valore positivo e uno negativo possiamo supporre che uno zero sia compreso tra 1 e +1. Proviamo: 1 34 p( __) = ___ 3 9 1 p(__) = 0 3 1 Il numero __ è uno zero di p(x). Eseguiamo la divisione: 3 3 _1_ 3 3 1 6 2 1 0 2 0 6 0 Otteniamo: 1 3x3 x2 6x + 2 = (3x2 6)(x __) 3 Raccogliendo a fattor comune 3 nel primo binomio abbiamo: 1 3x3 x2 6x + 2 = 3(x2 2)(x __) 3 Moltiplicando il 3 per il secondo binomio la scomposizione in fattori può essere così riscritta: 3x3 x2 6x + 2 = (x2 2)(3x 1) PROVA TU P S Scomponi in fattori i seguenti polinomi dopo averne determinato uno zero: a. x3 + 9x2 + 15x 25 b. x3 + 4x2 7x + 10 c. 3x2 x 10 29