ALGEBRA d. x2 1 xy y I primi due monomi formano la differenza di due quadrati, mentre tra gli altri due possiamo mettere in evidenza y: x2 1 xy y = (x + 1)(x 1) y(x + 1) = Mettendo in evidenza il fattore comune x + 1, otteniamo: = (x + 1)(x 1 y) e. a2 + 2ab + b2 c2 I primi tre monomi formano il quadrato di un binomio; otteniamo così la differenza di due quadrati: PROVA TU P S Scomponi in fattori i seguenti polinomi: a. a5b a9 b5 b. x5 6x4 + 12x3 8x2 Esercizi da pag. 68 a2 + 2ab + b2 c2 = (a + b)2 c2 = così trasformato è una differenza tra due quadrati (a + b) e c quindi: = ((a + b) + c)((a + b) c) = (a + b + c)(a + b c) 5 Il MCD e il mcm di polinomi In maniera analoga a quanto abbiamo fatto per i numeri naturali e per i monomi, possiamo definire il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) di due o più polinomi. I polinomi che qui considereremo hanno coefficienti interi. KEYWORDS K m massimo comune divisore di polinomi / greatest common divisor of polynomials ATTENZIONE! A I fattori f in cui si scompone un polinomio possono anche essere monomi, perché i monomi sono polinomi particolari. DEFINIZIONE Il massimo comune divisore (MCD) di due o più polinomi è il più grande polinomio che divide tutti i polinomi dati. Per determinare il MCD scomponiamo in fattori i polinomi e consideriamo i fattori comuni, scelti con il minimo esponente. Per esempio, i polinomi: a2b + 2ab + b ab2 + b2 a2b b risultano, rispettivamente così scomposti: b(a2 1) = b(a 1)(a + 1) b(a2 + 2a + 1) = b(a + 1)2 b2(a + 1) I fattori comuni a tutti sono il monomio b e il binomio a + 1; il loro prodotto, b(a + 1), è il MCD dei tre polinomi. Il massimo comune divisore (MCD) di due o più polinomi si ottiene considerando i fattori comuni a tutti i polinomi, ciascuno preso una sola volta con il minimo esponente con cui compare. Il numero 1 è un divisore di qualsiasi polinomio. Se i polinomi non hanno altri fattori comuni, il loro MCD è perciò 1. In tale caso, come per i numeri naturali, i polinomi si dicono primi tra loro. 34