GEOMETRIA Conservazione del punto medio Approfondisci Dimostrazione del teorema (punto medio di una a nità) TEOREMA (punto medio di una affinità) Ogni trasformazione affine conserva i punti medi dei segmenti. Ip: M punto medio di AB Ts: M punto medio di A B esempio ATTENZIONE! A N Nella trasformazione della figura a forma di «L esaminata a inizio paragrafo, il punto medio M del segmento AF si trasforma nel punto medio M del corrispondente segmento A F . O In una affinità, alla retta r corrisponde la retta r (non parallela a r). Nella retta r sono fissati tre punti, A, B, C, tali che B è interno al segmento AC e AB ___ = 2. BC Se A , B , C sono i punti corrispondenti di A, B, C, quale delle seguenti proposizioni è possibile dedurre dal teorema precedente? l a. Se AB ha lunghezza l, allora B C ha lunghezza __. 2 l b. Se A B ha lunghezza l, allora B C ha lunghezza __. 2 a. Non è deducibile, perché in una trasformazione affine non sono mantenute le misure dei segmenti e quindi dalla lunghezza dei segmenti sulla retta r, non possiamo dedurre nulla sulla lunghezza dei segmenti della retta corrispondente. b. Se consideriamo il punto medio M di AB, il segmento AC è diviso in tre parti di uguale lunghezza: AM, MB, BC. A A M C r B M B C r Indicando con M il corrispondente di M, sulla retta r vi sono pure tre segmenti di uguale lunghezza: A M M B (perché si conserva il punto medio M del segmento AB); M B B C (perché si conserva il punto medio B del segmento MC). Possiamo perciò dedurre che se A B ha lunghezza l, allora B C ha lunghezl za __. 2 Rapporto semplice di tre punti allineati Per classificare le proprietà geometriche delle figure nel piano euclideo è possibile considerare un particolare rapporto, chiamato rapporto semplice di tre punti allineati, definito in questo modo. DEFINIZIONE Dati tre punti allineati A, B, C, il loro rapporto semplice, indicato con (ABC), è il numero: A C AC ___ B BC Vale il segno + se C è esterno al segmento AB; vale il segno se C è interno al segmento AB. 322