6 Similitudini e affinità Se l affinità non lascia fissa l origine, essa contiene una traslazione ed è descritta da equazioni lineari più generali (non omogenee), quali: x = ax + by + e {y = cx + dy + f esempio O Determina il corrispondente del quadrato di vertici O(0 ; 0), X(1 ; 0), P(1 ; 1), Y(0 ; 1) nella trasformazione di equazioni: x = 3x 2y + 1 {y = 2x y + 2 Sostituendo le coordinate dei punti nelle equazioni otteniamo: O(0 ; 0) O (1 ; 2) X(1 ; 0) X (4 ; 0) P(1 ; 1) P (2 ; 1) Y(0 ; 1) Y ( 1 ; 1) y FISSA I CONCETTI O P Y Y Q X O X x Q P Affinità: trasformazione del piano che ha come invarianti l allineamento dei punti e il parallelismo. Affinità che lascia fissa l origine (se b = d = 0 stiramento): x = ax + by se ad bc 0 {y = cx + dy Q Come possiamo osservare dal disegno, al quadrato OXPY corrisponde il parallelogramma OX P Y : la trasformazione è una affinità che non lascia fissa l origine. Affinità che non lascia fissa l origine: x = ax + by + e {y = cx + dy + f Proprietà delle affinità Poiché una affinità ha come invarianti l allineamento dei punti e il parallelismo, il corrispondente affine di un parallelogramma è ancora un parallelogramma. Tuttavia, in generale, in una affinità un parallelogramma non mantiene la sua forma, perché, nella trasformazione, il rapporto tra i segmenti può modificarsi: ogni segmento viene deformato in modo diverso a seconda della sua direzione. Per esempio, in questi due parallelogrammi, che possono corrispondersi in una A B AB trasformazione affine, non è mantenuta la forma, infatti ____ ___: B C BC D C C D B A A B Lungo ogni direzione però si mantengono i rapporti tra segmenti fra loro paralleli. Così come si mantengono alcune altre specifiche proprietà, come l essere il punto medio di un segmento. 321