GEOMETRIA Per verificare gli effetti di una trasformazione espressa da equazioni lineari omogenee in x e y, determiniamo il corrispondente del quadrato di vertici O(0 ; 0), X(1 ; 0), P(1 ; 1), Y(0 ; 1) nella trasformazione di equazioni: x = 3x 2y {y = 2x y La trasformazione lascia fissa l origine e perciò al punto O corrisponde sé stesso: O O Sostituendo nelle equazioni le coordinate degli altri punti ed effettuando i calcoli otteniamo: X(1 ; 0) X (3 ; 2) P(1 ; 1) P (1 ; 3) Y(0 ; 1) Y ( 2 ; 1) y Y PROVA TU P D Determina i corrispondenti del rettangolo di vertici A(2 ; 2), B(6 ; 2), C(2 ; 1), D(6 ; 1) nell affinità di equazioni: x = y a. e {y = x b. x = 2y {y = x Y O P X x 1 X P Al quadrato OXPY corrisponde il parallelogramma OX P Y . Approfondisci Non sempre le trasformazioni individuano una a nità 320 Vogliamo trovare l equazione della retta corrispondente a quella di equazione y = 3x nella trasformazione affine considerata: x = 3x 2y {y = 2x y Dobbiamo allora considerare la trasformazione inversa, cioè ricavare x e y a partire da x e y . una procedura un po laboriosa: Q moltiplichiamo la prima equazione per il coefficiente di y della seconda e la seconda equazione per il coefficiente di y della prima; Q facciamo la stessa cosa per i coefficienti di x; Q sottraiamo le equazioni ottenute: x = 3x + 2y 2x = 6x + 4y 2y = 4x + 2y 3y = 6x 3y x + 2y = 7x 2x 3y = 7y 7x = x 2y 7y = 2x 3y Q sostituiamo nell equazione y = 3x: 2x 3y x 2y _ = 3 _ 2x 3y = 3x 6y 7 7 Ricaviamo allora 3y = 5x . Poiché ci riferiamo sempre allo stesso riferimento 5 Oxy, l equazione della retta corrispondente nell affinità data è y = _ x. 3 Puoi verificare questo risultato con opportuni punti. Questa procedura può essere eseguita per una qualsiasi affinità di equazioni: x = ax + bx {y = cx + dx purché però ad bc sia diverso da 0; altrimenti le equazioni non individuano una affinità, come è evidenziato nell Approfondimento online.