6 Similitudini e affinità Abbiamo già visto un caso particolare di affinità: lo stiramento. In particolare, abbiamo considerato lo stiramento lungo gli assi cartesiani che lascia invariata l origine e dilata (o restringe) in modo uniforme, ma non necessariamente uguale, le ascisse e le ordinate dei punti. Questo stiramento è descritto analiticamente da equazioni del tipo: x = ax {y = by con a, b R0 Per esempio, una trasformazione di equazioni: x = 2x {y = 3y Raddoppia le ascisse e triplica le ordinate di ogni punto del piano. Così, a un punto P(u ; v) del piano corrisponde il punto P (2u ; 3v). L origine O resta invece fisso. esempio ATTENZIONE! A LLo stiramento di equazioni: x = ax {y = by è un affinità che dilata o restringe ognuna delle direzioni degli assi a seconda che: |a| > 1 o |a| 1 o |b| < 1 O Determina il corrispondente A B C D del quadrato di vertici A(2 ; 2), B(6 ; 4), C(4 ; 8), D(0 ; 6) nello stiramento definito dalle seguenti equazioni: 3 _ x = 2 x y y = _ 2 Qual è il centro di simmetria del quadrato ABCD? Qual è il corrispondente di tale centro di simmetria nella trasformazione? ancora un centro di simmetria per la figura corrispondente? Sostituiamo le coordinate dei vertici del quadrato ABCD nelle equazioni dello stiramento; otteniamo i vertici del quadrilatero corrispondente: A (3 ; 1), B (9 ; 2), C (6 ; 4), D (0 ; 3). A B C D è il parallelogramma in colore disegnato qui sotto. y C D S D 1 O 1 A A S C B B x Il centro di simmetria del quadrato ABCD è S(3 ; 5); il suo corrispondente è il 9 5 punto S (__ ; __) che coincide con il centro di simmetria del parallelogramma 2 2 A B C D come puoi verificare. ATTENZIONE! A Non tutte le affinità sono semplici stiramenti. Nel caso più generale, una affinità che lascia fissa l origine è descritta da equazioni lineari omogenee in x e y del tipo: x = ax + by {y = cx + dy U equazione è detta lineare se Una è di primo grado; è detta inoltre omogenea in x e y se contiene solo termini dello stesso grado (nel nostro caso, di primo grado) in x e y. Un equazione lineare omogenea in x e y non ha perciò termine noto. 319