GEOMETRIA Esercizi da pag. 340 APPROFONDIMENTO A Ab Abbiamo detto che una collineazione mantiene necessariamente il parallelismo. Questo è vero finché consideriamo il piano geometrico così come intituivamente lo rappresentiamo, formato da tutti punti potenzialmente raggiungibili. Se, invece, ampliamo il piano considerando come suoi effettivi punti anche quelli all infinito, detti punti impropri perché immaginati come punti in cui si intersecano le rette parallele, allora è ben possibile che una trasformazione geometrica sia una collineazione e a un punto improprio del piano corrisponda un punto proprio. Quindi, in tal caso, è possibile che a due rette parallele (intersecantisi in quel punto improprio) corrispondano due rette incidenti in un punto proprio. Questo ampliamento del piano, ottenuto includendo anche i punti impropri porta a considerare un tipo più generale di trasformazione geometrica, detta proiettività. 4 L affinità Le trasformazioni geometriche che abbiamo considerato sono collineazioni: mantengono l allineamento dei punti e, quindi, a rette corrispondono rette. Poiché sono collineazioni, mantengono anche il parallelismo: se due rette sono parallele e quindi, per così dire, si incontrano all infinito, anche le loro corrispondenti, pur cambiando eventualmente direzione, continuano a essere parallele e quindi a incontrarsi all infinito. Infatti, se a due rette parallele corrispondessero due rette incidenti, il punto di incontro di queste due rette non potrebbe essere il corrispondente di alcun punto. Ciascun tipo di trasformazione geometrica fin qui studiata ha anche altri invarianti: tutte le misure lineari e angolari per le isometrie o solo quelle angolari e il rapporto tra segmenti per le omotetie e così via. Consideriamo ora una figura a forma di «L disegnata su un reticolato a maglie quadrate e la sua trasformata ottenuta deformando il reticolato come se lo inclinassimo e lo tirassimo in una direzione, così come nella seguente figura: F E F M M A D C B A E D C B Osserviamo che; Q l allineamento dei punti si è mantenuto: la trasformazione è una collineazione; Q anche il parallelismo si è, quindi, mantenuto; Q le misure dei segmenti non si sono mantenute; Q neppure le ampiezze degli angoli si sono mantenute; Q anche le direzioni dei segmenti non si sono mantenute. Possiamo dire che la trasformazione eseguita ha come invarianti soltanto l allineamento dei punti e, conseguentemente, il parallelismo. Una trasformazione di questo tipo è più generale delle isometrie, omotetie e similitudini: è detta trasformazione affine o, più sinteticamente, affinità. DEFINIZIONE KEYWORDS K tr trasformazione affine o affinità / affine transformation or affinity Definiamo trasformazione affine o affinità una trasformazione geometrica che ha come invarianti l allineamento dei punti (è una collineazione) e il parallelismo (a rette parallele corrispondono rette parallele). AFFINIT SIMILITUDINI ISOMETRIE identità traslazioni simmetria OMOTETIE simmetrie centrale rotazioni loro composizioni 318 L insieme della affinità contiene come sottoinsieme quello delle similitudini, che a sua volta contiene sia quello delle isometrie sia quello delle omotetie, secondo uno schema gerarchico così rappresentabile con un diagramma di Eulero-Venn.