6 Similitudini e affinità Ruotiamo poi questo triangolo con centro il punto B (4 ; 2), ampiezza 90° e verso orario, ottenendo il triangolo A (8 ; 4), B coincidente con B e C (10 ; 2). I triangoli ABC e A B C sono simili, ma non sono omotetici perché non esiste alcun centro da cui proiettare l uno sull altro. Dall esempio osserviamo che componendo una omotetia con una isometria (in questo caso una rotazione) otteniamo una similitudine. Gli invarianti della trasformazione risultante sono, infatti, l allineamento dei punti, il rapporto tra i segmenti e l ampiezza degli angoli. Questo risultato vale in generale. Ogni volta che componiamo una isometria con una omotetia viene stabilita una relazione di similitudine tra le figure del piano. Infatti, se componiamo due trasformazioni geometriche, cioè le effettuiamo in successione, gli invarianti della complessiva trasformazione ottenuta sono quelli comuni alle due trasformazioni che la compongono. Quindi, nel comporre una omotetia e una isometria, lo schema degli invarianti è il seguente: Invarianti della omotetia allineamento dei punti Invarianti della isometria Invarianti della isometria omotetia allineamento dei punti allineamento dei punti lunghezza dei segmenti rapporto tra segmenti rapporto tra segmenti rapporto tra segmenti ampiezza degli angoli ampiezza degli angoli ampiezza degli angoli direzioni Se due figure sono simili (con rapporto |k| > 0) su di esse ha dunque agito una trasformazione composta: una isometria e una omotetia (di rapporto k) oppure una omotetia e una isometria. A seconda dell isometria che la compone, una similitudine può poi mantenere l orientamento dei punti del piano (similitudine diretta) oppure no (similitudine invertente). similitudine diretta (omotetia più traslazione) ATTENZIONE! A C il simbolo indichiamo la Con composizione di due trasformazioni. Q Se effettuiamo la composizione isometria omotetia oppure la composizione in ordine inverso omotetia isometria, otteniamo trasformazioni che hanno gli stessi invarianti. Q La composizione non è commutativa. Q similitudine invertente (omotetia più simmetria assiale) FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Le direzioni, le ampiezze degli angoli e l orientamento dei punti sono invarianti dell omotetia. L omotetia è una particolare similitudine e non viceversa. La composizione di una isometria e di una omotetia è una similitudine. I suoi invarianti sono: l allineamento dei punti; i rapporti tra segmenti; le ampiezze degli angoli; il parallelismo. Una similitudine diretta ha come invariante l orientamento dei punti del piano; una similitudine invertente modifica tale orientamento. 317