6 Similitudini e affinità Dimostrazione Consideriamo una omotetia di centro C e rapporto k R0 e tre punti P, Q, R appartenenti a una retta r. Indichiamo con P , Q , R i corrispondenti di P, Q e R nell omotetia. Dobbiamo dimostrare le seguenti due tesi: a. P , Q e R sono tra loro allineati; b. la retta per P , Q , R è parallela alla retta r. Per la definizione di omotetia: Q C P C _ _ = = |k| PC QC Per il teorema inverso del teorema di Talete (teorema 33, vedi tabella dei teoremi online) le rette PQ e P Q sono allora tra loro parallele. Analogamente: Q C _ R C _ = = |k| QC RC e le rette QR e Q R sono tra loro parallele. Però, P, Q e R fanno parte della stessa retta r e quindi i segmenti P Q e Q R , dovendo essere entrambi paralleli alla retta r e passando entrambi per Q , fanno parte della stessa retta (tesi a), che risulta parallela a r (tesi b). c.v.d. In una omotetia, perciò, ogni retta viene trasformata in una sua parallela: l omotetia, quindi, conserva le direzioni delle rette. Come conseguenza dei criteri di parallelismo, se si conservano le direzioni, si dimostra così una proprietà dell omotetia che avevano già introdotto: gli angoli corrispondenti in una omotetia sono congruenti. Approfondisci I teoremi e gli assiomi FISSA I CONCETTI Una omotetia trasforma ogni retta in una retta a essa parallela. L omotetia conserva il rapporto tra i segmenti Anche l altra caratteristica dell omotetia il mantenimento del rapporto tra segmenti può essere dimostrata a partire dalla sua precedente definizione formale. Osserviamo che ogni volta che effettuiamo una omotetia e consideriamo un segmento e il suo corrispondente, determiniamo tre coppie di segmenti: due di esse hanno un estremo nel centro di omotetia, mentre la rimanente è la coppia di segmenti paralleli tra loro omotetici. A Se A , B sono i corrispondenti dei punti A e B nell omotetia di centro O e rapporto k, allora, per la A definizione di omotetia: B O A O ____ ____ = B O B AO BO è in comune, il secondo criterio di similitudine dei triangoli Poiché l angolo O assicura che è anche: A B ____ A O ____ B O ____ = = AB Quindi: AO BO i segmenti corrispondenti in una omotetia di rapporto k stanno tra loro in rapporto |k|. ATTENZIONE! A L stessa situazione grafica può La essere considerata da un altro punto di vista: due rette parallele che tagliano due rette incidenti, determinando una proiezione parallela di una retta sull altra, individuano una omotetia con il centro nel punto in cui le due rette si intersecano. 315