GEOMETRIA Quanto detto sopra è perciò la formulazione del primo teorema di Euclide (teorema 60, vedi tabella dei teoremi online). Approfondisci I teoremi e gli assiomi La formula di Erone Se consideriamo la similitudine tra i triangoli rettangoli ABH e AHC individuati sul triangolo rettangolo ABC (retto in A) dall altezza relativa all ipotenusa, possiamo scrivere la seguente proporzione: BH : AH = AH : HC che può essere espressa in questi termini: in ogni triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni perpendicolari dei cateti sull ipotenusa. A B C H Possiamo anche scriverla come: AH = BH HC 2 Ritroviamo in questo caso la formulazione del secondo teorema di Euclide (teorema 61, vedi tabella dei teoremi online). esempio O Costruisci il segmento medio proporzionale tra due segmenti dati. Disegniamo i due segmenti dati come segmenti adiacenti AB e BC (ciò è sempre possibile in base all assioma 7). Individuiamo il punto medio M di AC e tracciamo la semicirconferenza di diametro AC. Tracciamo per B la perpendicolare ad AC fino a intersecare la semicirconferenza nel punto D (fig. a.). Per il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo ACD (fig. b.), il segmento BD è medio proporzionale tra AB e BC: AB : BD = BD : BC ATTENZIONE! A P individuare il punto medio M di un segmento AC puntiamo il Per compasso in A e, con apertura intuitivamente maggiore della metà di AC, tracciamo due archi, al di sopra e al di sotto del segmento. Ripetiamo la stessa operazione con centro in C e con la stessa apertura. A M C Si individuano così due punti, al di sopra e al di sotto del segmento: la retta per essi è la perpendicolare nel punto medio M di AC. Per tracciare la perpendicolare al segmento AC in un suo punto B, tracciamo una semicirconferenza con centro in B e apertura qualsiasi (meglio piuttosto piccola) e individuiamo così su AC un segmento di cui B è il punto medio. Negli estremi di questo segmento ripetiamo la precedente costruzione e otteniamo la retta perpendicolare al segmento AC nel punto B. D D FISSA I CONCETTI In un triangolo rettangolo, l altezza relativa all ipotenusa determina due triangoli simili al triangolo dato e simili tra loro. 310 A a. B M C A b. B C