6 Similitudini e affinità La sezione aurea La conoscenza della similitudine mostra come spesso, nella valutazione dell armonia di una forma, non contino le dimensioni delle linee, quanto le loro proporzioni, i loro rapporti. Così, nella storia ha acquisito importanza un particolare modo di dividere in due parti un segmento. Questa suddivisione è chiamata sezione aurea, per sottolinearne la preziosa particolarità. DEFINIZIONE La sezione aurea di un segmento AB è il segmento AC medio proporzionale tra AB e il segmento rimanente: AB _ AC _ = C A B AC BC Se consideriamo un segmento AB di lunghezza unitaria e indichiamo con x la lunghezza incognita di AC, i segmenti in gioco hanno le seguenti misure: ¯=1 ¯= x ¯=1 x AB AC BC KEYWORDS K ssezione aurea / golden section I protagonisti della matematica La proporzione che vogliamo sussista può essere tradotta allora nella seguente equazione: x 1 _ _ = 1 x x Risolviamola: 1 x = x2 x2 + x 1 = 0 _ 1 1 + 4 x = _________________ 2 Scartando la soluzione negativa, perché x rappresenta una lunghezza, otteniamo un numero irrazionale: _ 5 1 x = _ 0,61803398875 2 In generale, quindi, se un segmento ha lunghezza l, la sua sezione aurea ha lunghezza: _ 5 1 _ l 2 Costruiamo geometricamente la sezione aurea di un dato segmento. 1. Sul segmento AB di lunghezza unitaria costruiamo un triangolo rettangolo ABD, in cui un cateto è AB e l altro cateto BD è uguale alla sua metà. D A B Luca Pacioli (1445-1517) è stato un matematico, frate francescano, amico di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca e Leon Battista Alberti. Nell opera De divina proportione del 1509 ha illustrato le caratteristiche della sezione aurea, denominata divina proporzione che aveva attratto, a partire del Rinascimento, l attenzione non soltanto dei matematici, ma anche di pittori, scultori e architetti come canone di armonia e bellezza, cercando di dedurre dalla divisione di un segmento in media ed estrema ragione i principi dell architettura e della struttura del corpo umano. ATTENZIONE! A P costruire il triangolo ABD Per procediamo in questo modo: Q individuiamo il punto medio di AB; Q tracciamo la perpendicolare ad AB nel suo estremo B; Q individuiamo il punto D riportando su tale perpendicolare, con il compasso centrato in B, il segmento congruente alla metà di AB. 311