6 Similitudini e affinità La proposizione, dimostrata nell esempio precedente, è un teorema, conseguenza immediata dei teoremi delle corde e delle secanti e pertanto ne costituisce un corollario. FISSA I CONCETTI COROLLARIO (teorema della secante e della tangente) Se da un punto esterno a una circonferenza si conducono una secante e una tangente, allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l intera secante e la sua parte esterna alla circonferenza. I triangoli simili in un triangolo rettangolo In un triangolo rettangolo ABC, retto in A, tracciamo l altezza AH relativa all ipotenusa e consideriamo i seguenti triangoli rettangoli: il triangolo ABC stesso, il triangolo ABH e il triangolo AHC. Questi tre triangoli sono simili. A B H Teorema delle corde. Se in una circonferenza due corde AB e CD si intersecano in un punto P, AP PD allora ___ = ___. CP PB Teorema delle secanti. Se due secanti una circonferenza condotte da un punto P la intersecano rispettivamente nei punti A e B e PA PD nei punti C e D, allora ___ = ___. PC PB Corollario. Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono una secante che interseca la circonferenza in A e B e una tangente nel punto T, PA PT allora ___ = ___. PT PB C Infatti: ABC simile ad ABH per il primo criterio di similitudine, infatti: B (perché retti) B AC AH in comune B B B ) AC AH (complementari dello stesso angolo B ABC simile ad AHC per il primo criterio di similitudine, infatti: C (perché retti) B AC AH C in comune H (complementari dello stesso angolo C ) C CA AB ABH simile ad AHC per la proprietà transitiva della similitudine. In particolare, dalla similitudine dei triangoli ABC (retto in A) e ABH (con AH altezza relativa all ipotenusa BC), possiamo ricavare la seguente proporzione: BC : AB = AB : BH che può essere espressa in questi termini: in ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione perpendicolare del cateto stesso sull ipotenusa. A B Dalla proporzione: BC : AB = AB : BH otteniamo: AB AB = BC BH H cioè: C AB2 = BC BH 309