GEOMETRIA esempio O Dimostra che, se M e N sono punti medi dei lati AB e AC di un triangolo ABC, allora i triangoli ABC e AMN sono simili. A N C M un applicazione immediata del secondo cri- B terio di similitudine dei triangoli: infatti l anAB AC golo di vertice A è comune ai due triangoli e ____ = ___. AM AN TEOREMA (terzo criterio di similitudine dei triangoli) Se due triangoli hanno i lati proporzionali, allora sono simili. A B A C B C Ip: _ = _ = _ Ts: A B C simile ad ABC AB AC BC C A B C A B B C Dimostrazione ABC e A B C sono i triangoli dati. Se fosse AB A B per ipotesi sarebbe anche AC A C e BC B C e i due triangoli sarebbero congruenti (per il terzo criterio di congruenza - LLL) e quindi simili. Supponiamo allora che sia AB > A B . Sul lato AB costruiamo un punto B tale che AB A B e, sul lato AC, un punto C tale che AC A C (assioma 7). Abbiamo: AC AB ____ ____ = AB AC Il triangolo AB C è simile al triangolo ABC per il secondo criterio di similitudine. Infatti: è in comune; Q A AB AC Q ____ = ____ (per costruzione). AC AB Anche gli altri lati dei triangoli stanno perciò nella stessa proporzione: B C ____ AB _____ = BC AB Il triangolo A B C è congruente al triangolo AB C per il terzo criterio di congruenza. Infatti: Q AB A B (per costruzione); Q AC A C (per costruzione); Q B C B C (perché hanno lo stesso rapporto con BC). In conclusione: AB C è simile ad ABC e A B C è congruente ad AB C . Quindi A B C è simile ad ABC. c.v.d. 306