6 Similitudini e affinità esempio O Dimostra che, se da un punto P del lato AB di un triangolo ABC si traccia la parallela al lato BC, che interseca il lato AC in un punto Q, allora il triangolo APQ è simile al triangolo ABC. un applicazione immediata del primo criterio di similitudine: con la parallela, infatti, si vengono a formare due coppie di angoli corrispondenti, che hanno uguale ampiezza. B P AC Q AB C e AQ AP A Q C P B TEOREMA (secondo criterio di similitudine dei triangoli) Se due triangoli hanno un angolo congruente e i due lati che lo formano proporzionali, allora sono simili. A C A B _ C BA C, _ = Ts: A B C simile ad ABC Ip: B A AB AC A C C A B B B C Dimostrazione ABC e A B C sono i triangoli dati. Se fosse AB A B per ipotesi sarebbe anche AC A C e i due triangoli sarebbero congruenti (per il primo criterio di congruenza LAL) e quindi simili. Supponiamo allora che sia AB > A B . Sul lato AB costruiamo un punto B tale che AB A B e, sul lato AC, un punto C tale che AC A C (assioma 7). Abbiamo quindi: AB ____ AC ____ = AB AC e, per il teorema 35, risulta B C parallelo a BC. Il triangolo A B C è congruente al triangolo AB C per il primo criterio di congruenza. Infatti: A (per ipotesi); Q A Q AB A B (per costruzione); Q AC A C (per costruzione). Il triangolo AB C è simile al triangolo ABC per il primo criterio di similitudine. Infatti: è in comune; Q A C AB C (perché angoli corrispondenti nelle parallele B C e BC taQ AB gliate dalla trasversale AB); B AC B (perché angoli corrispondenti nelle parallele B C e BC taQ AC gliate dalla trasversale AC). In conclusione: A B C è congruente ad AB C e AB C è simile ad ABC. Quindi A B C è simile ad ABC. c.v.d. 305