GEOMETRIA I criteri di similitudine dei triangoli Come per la relazione di congruenza, anche per la similitudine esistono dei criteri che permettono di stabilire quando due triangoli sono simili. Tali criteri di similitudine fissano le condizioni sufficienti ad affermare che due triangoli sono simili. La tecnica che utilizzeremo per dimostrare tali criteri segue questi passi: sono date alcune ipotesi che riguardano due triangoli ABC e A B C ; costruiamo un triangolo intermedio AB C ; dimostriamo che AB C è congruente al triangolo A B C ; dimostriamo che AB C è simile al triangolo ABC; deduciamo che il triangolo ABC, essendo congruente a un triangolo che è simile al triangolo A B C , è a sua volta simile ad A B C . TEOREMA (primo criterio di similitudine dei triangoli) Se due triangoli hanno gli angoli congruenti, allora sono simili. C Ts: A B C simile ad ABC A , B B , C Ip: A C Approfondisci I teoremi e gli assiomi C C A Assioma (7) del trasporto del segmento: dati un segmento AB e un punto A appartenente a una retta r , su ognuna delle due semirette di r di estremo A esiste un unico segmento A B congruente ad AB. B B B A Dimostrazione ABC e A B C sono i triangoli dati. Se fosse AB A B i due triangoli sarebbero congruenti (per il secondo criterio di congruenza ALA) e quindi simili. Supponiamo allora che sia AB > A B . Sulla retta AB costruiamo un punto B tale che AB A B (assioma 7 del trasporto del segmento) e tracciamo la parallela B C al lato BC. Il triangolo A B C è congruente al triangolo AB C per il secondo criterio di congruenza. Infatti: AB A B (per costruzione); A (per ipotesi); A C (per ipotesi) e AB C A A B C AB BC (perché angoli corrispondenti nelle parallele B C e BC tagliate dalla trasversale AB). Quindi AB C A B C . Il triangolo AB C è simile al triangolo ABC. Infatti: è in comune; A C AB C (perché angoli corrispondenti nelle parallele B C e BC ta AB gliate dalla trasversale AB); B AC B (perché angoli corrispondenti nelle parallele B C e BC ta AC gliate dalla trasversale AC); AC AB _ = _ (per il teorema 35); AC AB B C AB _ = _ (si ottiene ripetendo la costruzione con un segmento parallelo BC AB ad AC). In conclusione: A B C è congruente ad AB C e AB C è simile a ABC. Quindi A B C è simile ad ABC. c.v.d. Teorema (35): in ogni triangolo una retta determina sui due lati segmenti proporzionali se e solo se è parallela al terzo lato. A D B 304 E C