6 Similitudini e affinità Come, già sai, l area di un poligono è definita come l area del quadrato a esso equiesteso. , quindi, un numero reale non negativo (perché l area del quadrato di lato di lunghezza l è definita come il numero reale l2) e tutti i poligoni tra loro equiestesi hanno la stessa area. L area di un particolare quadrato (quello di lato 1 metro) costituisce l unità di misura dell estensione: il metro quadrato. Vediamo ora che cosa accade tra le aree di poligoni simili. Consideriamo un quadrato Q e raddoppiamone i lati: Q Q l l Il rapporto di similitudine tra i due quadrati è 2 perché l = 2 l. Per quanto riguarda le loro aree abbiamo invece: areaQ = (l )2 = (2 l)2 = 4 l2 = 4 areaQ In generale, dato un poligono di area S, un poligono a esso simile, con rapporto di similitudine k, ha area k2S. esempio O Dato il triangolo rettangolo di cateti b = 3 cm e c = 4 cm, determinane area e perimetro. Determina quindi l area e il perimetro di un triangolo simile al precedente 3 secondo il rapporto k = __. 2 C C b A c a b a B A c _ B L ipotenusa del triangolo ABC misura 32 + 42 = 5 cm. Perciò: perimetroABC = 3 + 4 + 5 = 12 cm 1 areaABC = __ 3 4 = 6 cm2 2 Il triangolo A B C ha come lati: 3 15 3 9 3 a = __ 5 = ___ cm b = __ 3 = __ cm c = __ 4 = 6 cm 2 2 2 2 2 Perciò: 15 9 36 perimetroA B C = ___ + __ + 6 = ___ = 18 cm 2 2 2 1 9 27 areaA B C = __ __ 6 = ___ cm2 2 2 2 Dal rapporto tra il perimetro del triangolo A B C e il perimetro del triangolo 3 ABC otteniamo __ mentre dal rapporto tra l area del triangolo A B C e l area 2 9 3 di ABC otteniamo __. Il rapporto k = __ si mantiene tra i perimetri dei triango4 2 9 li simili mentre è k2 = __ tra le loro aree. 4 FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Due poligoni sono simili se: gli angoli corrispondenti sono congruenti; i lati corrispondenti sono in proporzione. La similitudine è una relazione di equivalenza. Una classe di figure tra loro simili individua una forma. Tutti i poligoni regolari di n lati sono tra loro simili. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili con rapporto k è k 2. 303