6 Similitudini e affinità esempio ATTENZIONE! A O Dimostra che tutti i triangoli equilateri sono simili. Siano ABC e A B C due triangoli equilateri e k sia il rapporto tra due lati, rispettivamente dell uno e dell altro. Allora k è anche il rapporto tra le altre due coppie di lati, giacché i lati sono congruenti. I due triangoli risultano pertanto simili per il terzo criterio di similitudine. 2 Le applicazioni della similitudine La riduzione o l ingrandimento di una immagine, la riproduzione in scala della pianta di un appartamento, le carte geografiche ecc.: molte sono le applicazioni pratiche del concetto di similitudine. Qui ne analizzeremo alcune relative alla geometria stessa. Q Questo risultato è stato già precedentemente enunciato a partire dal concetto di forma. Qui è dimostrato sulla base dei teoremi di similitudine dei triangoli. FISSA I CONCETTI Criteri di similitudine dei triangoli. Q Primo criterio: due triangoli con gli angoli congruenti sono simili. Q Secondo criterio: due triangoli con un angolo congruente e i lati che lo formano proporzionali sono simili. Q Terzo criterio: due triangoli con i lati proporzionali sono simili. Esercizi da pag. 331 I teoremi delle corde e delle secanti Dimostriamo due teoremi che collegano alcune proprietà della similitudine con gli elementi geometrici relativi alla circonferenza: corde, rette tangenti e secanti. TEOREMA (teorema delle corde) Se in una circonferenza due corde AB e CD si intersecano in un punto P, allora i quattro segmenti individuati soddisfano la proporzione: PD AP ___ ___ = CP PB B D PD AP Ip: CD AB = {P} Ts: _ = _ CP PB C P O A Dimostrazione Uniamo A con D e B con C e consideriamo i triangoli ADP e CPB. Essi hanno gli angoli ordinatamente congruenti: D B Q AP PC (perché opposti al vertice); P BC P (perché insistono sullo stesso arco BD vedi corollario del teoQ DA rema 46); P (perché insistono sullo stesso arco AC). P CB Q AD I due triangoli sono perciò simili per il primo criterio di similitudine e hanno quindi i lati in proporzione. c.v.d. KEYWORDS K te teorema delle corde / chord theorem ATTENZIONE! A S scriviamo la tesi del teorema Se delle corde come AP : CP = PD : PB osserviamo che i termini medi della proporzione appartengono a una corda (CD) e i termini estremi appartengono all altra corda (AB). Approfondisci I teoremi e gli assiomi Corollario del teorema (46): tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti. 307