6 Similitudini e affinità esempio O Nei tre poligoni qui sotto disegnati, è possibile stabilire due corrispondenze biunivoche: una tra i vertici del rettangolo ABCD e quelli del quadrato A B C D , l altra tra i vertici del quadrato A B C D e quelli del rombo A B C D . a. Il quadrato A B C D è simile al rettangolo ABCD? Perché? b. Il rombo A B C D è simile al quadrato A B C D ? Perché? D C D D C A A A B B C B a. Rettangolo e quadrato non sono simili perché, pur avendo gli angoli corrispondenti congruenti, non hanno i lati in proporzione. b. Quadrato e rombo non sono simili perché, pur avendo i lati in proporzione, non hanno gli angoli corrispondenti congruenti. Come la congruenza e l equiestensione, anche la relazione di similitudine è una relazione di equivalenza. TEOREMA (similitudine tra poligoni) La similitudine tra poligoni è una relazione di equivalenza. Dimostrazione Dobbiamo dimostrare che la similitudine soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. a. Riflessiva. Ogni poligono è simile a sé stesso avendo angoli e lati congruenti a sé stessi. b. Simmetrica. Se il poligono F è simile al poligono F, anche il poligono F è simile a F perché: Q gli angoli sono congruenti (per la simmetria della congruenza); Q se i lati di F sono proporzionali ai lati di F secondo un rapporto k, allora i lati di F sono proporzionali a quelli di F secondo il rapporto 1 inverso __. k c. Transitiva. Consideriamo tre poligoni F, F e F con F simile a F e F simile a F . Gli angoli di F rimangono congruenti a quelli di F per la transitività della congruenza. Per quanto riguarda i lati, se indichiamo con ABC , A B C , A B C i rispettivi vertici dei tre poligoni in corrispondenza biunivoca, abbiamo: F simile a F F simile a F B C A B _ _ = = ... = k AB BC A B B C _ = _ = ... = h A B B C Poiché: 301