i matem L eggere di matematica Determiniamo allora u e v, risolvendo il sistema di secondo grado che abbiamo scritto: u = v + q p 3 _ (v + q)v = (3) da cui: v= p 3 v2 + qv _ = 0 (3) ______________ q 2 p 3 q _ + _ _ (2) (3) 2 u=v+q= ______________ p 3 q + _ +_ (2) (3) 2 q _ 2 Calcolando le radici cubiche e sottraendole, otteniamo la formula di Scipione dal Ferro. La formula generale per risolvere un equazione generale di terzo grado è ben più complessa, così come lo è la formula per risolvere un equazione di quarto grado. Quest ultima venne trovata da Ludovico Ferrari riconducendosi alla soluzione di un equazione di terzo grado. Sono tuttavia formule che, analogamente a quella consueta per le equazioni di secondo grado, forniscono le soluzioni operando con le quattro operazioni e con un numero finito di estrazioni di radici: per questo si dice che tali equazioni sono risolubili per radicali. La possibilità di risolvere per radicali le equazioni di terzo e di quarto grado portò i matematici rinascimentali a ricercare un metodo analogo per risolvere quelle di quinto o di sesto o di grado ancora superiore, nella convinzione che, se il problema era stato risolto fino al quarto grado nulla di particolare dovesse impedire che fosse possibile risolverlo per il quinto, il sesto e i gradi successivi. Il metodo che si intendeva seguire era lo stesso già utilizzato per le equazioni di quarto grado: abbassare il grado dell equazione, cioè ricondursi per risolvere un equazione di quinto grado a ricercare le soluzioni di un altra di quarto; e così per i gradi successivi. Questo metodo di indagine venne però interrotto dagli studi del matematico e medico Paolo Ruffini (1765-1822) che dimostrò come per risolvere un equazione di quinto grado ci si ritrovava a impostare un sistema, la cui equazione risolvente era di sesto grado: il grado invece di diminuire aumentava e, quindi, il metodo di riconduzione a un equazione di grado inferiore non era applicabile. Pur senza darne una dimostrazione, già Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), nel suo lungo saggio Réflexions sur la résolution algébrique des équations del 1770, era giunto alla conclusione che i metodi utilizzati per le equazioni fino al quarto grado non avrebbero potuto avere successo con le equazioni di grado superiore; ma il teorema stabilito da Ruffini metteva una parola definitiva su questo argomento, perché forniva una dimostrazione di questa intuizione. Qualche anno più tardi, il giovane matematico norvegese Niels Abel (18021829) diede una nuova e più rigorosa dimostrazione di questo risultato. Così, fra il XVIII e il XIX secolo l ipotesi di trovare formule generali per le equazioni di qualsiasi grado venne meno: le equazioni di grado superiore al quarto non sono risolubili per radicali. Naturalmente, questo vale nel caso generale, cioè per una qualsiasi equazione; non esclude che alcune classi particolari di equazioni anche di grado superiore al quarto siano risolubili per radicali. Fu Evariste Galois (1811-1832) a stabilire le condizioni necessarie e sufficienti per riconoscere se una determinata equazione polinomiale è o meno risolubile per radicali. 277