1 Operare con numeri e lettere Come conseguenza del teorema di Ruffini, dimostriamo il seguente teorema. TEOREMA Il polinomio p(x) è divisibile per il binomio x k se e solo se k è uno zero di p(x), cioè se e solo se p(k) = 0. Dimostrazione Un polinomio p(x) è divisibile per un binomio x k se e solo se la divisione tra p(x) e x k dà come resto r = 0; ma, per il teorema di Ruffini, p(k) = r. Il polinomio p(x) è perciò divisibile per x k se e solo se p(k) = 0. c.v.d. FISSA I CONCETTI Q Per stabilire se un polinomio p(x) è divisibile per x k è sufficiente sostituire il numero k al posto della x e verificare se si ottiene 0. Per esempio, il polinomio: p(x) = x4 x3 + x2 2x + 1 è divisibile per x 1 perché p(1) = 1 1 + 1 2 + 1 = 0. Q Teorema di Ruffini: p(k) = r se e solo se r è il resto della divisione di p(x) per (x k). Il polinomio p(x) è divisibile per x k se e solo se p(k) = 0. esempio O Stabilisci se i seguenti polinomi sono divisibili per x 2; in caso di non divisibilità determina il resto della divisione. a(x) = x3 5x + 2 sostituendo 2 a x otteniamo: a(2) = 23 5 2 + 2 = 0 b(x) = x3 x2 + x 1 otteniamo; b(2) = 23 22 + 2 1 = 5 Il polinomio a(x) è divisibile per x 2. Il polinomio b(x) non è divisibile per x 2 e la sua divisione per x 2 dà come resto 5. 4 Ulteriori scomposizioni PROVA TU P St Stabilisci se i seguenti polinomi sono divisibili per x + 3 e, in caso affermativo, determina il quoziente: a. x 4 2x 2 2x + 3x 3 + 12 b. x 3 + 5x 4 Esercizi da pag. 63 Scomporre applicando il teorema di Ruffini Il teorema di Ruffini permette di scomporre in fattori alcuni polinomi difficilmente scomponibili in altro modo. Se, infatti, dato un polinomio, troviamo che k è un suo zero, allora il teorema di Ruffini assicura che esso è divisibile per il binomio x k. Nella scomposizione del polinomio, x k è, quindi, un fattore. Dividendo il polinomio dato per x k, otteniamo un altro fattore. Possiamo poi analizzare se questo nuovo fattore è a sua volta scomponibile o meno. esempi O Scomponi in fattori il polinomio p(x) = x2 + 3x + 2, dopo averne trovato uno zero. La somma dei coefficienti di p(x) è 1 + 3 + 2 0, ma la somma dei coefficienti di grado dispari è uguale a quella dei coefficienti di grado pari, quindi il numero 1 è uno zero del polinomio. Il polinomio è pertanto divisibile per x ( 1) = x + 1. 27