ALGEBRA ATTENZIONE! A Dividiamo ora p(x) per il binomio x 1 utilizzando la regola di Ruffini: 2 Il trinomio x 4x + 4 è ancora scomponibile: x2 4x + 4 = (x 2)2 Perciò: p (x) = (x 2)2(x 1) 1 1 1 5 8 4 1 4 +4 4 4 0 Otteniamo come resto 0, quindi p(x) è divisibile per x 1 e otteniamo: p(x) = (x2 4x + 4)(x 1) p(1) = 0 e la divisione tra p(x) e (x 1) dà come resto 0. O Considera ora il polinomio p(x) = x3 5x2 + 8x + 3. Verifica che il numero 1 non è uno zero del polinomio, esegui poi la divisione tra p(x) e il monomio x 1. p(1) = 13 5 12 + 8 1 + 3 = 7 Dividiamo ora p(x) per il binomio x 1: 1 1 1 5 8 3 1 4 4 4 4 7 Otteniamo come resto 7 quindi p(x) non è divisibile per x 1 e vale l uguaglianza, che puoi verificare: x3 5x2 + 8x + 3 = (x2 4x + 4)(x 1) + 7 In questo caso abbiamo che: p(1) = 7 e la divisione tra p(x) e (x 1) dà come resto 7. In generale, possiamo dimostrare il seguente teorema. ATTENZIONE! A Ri Ricorda che mod indica il resto della divisione intera. Il teorema, quindi, stabilisce che: p(k) = r se e solo se p(x) mod (x k) = r TEOREMA DI RUFFINI Il valore che un polinomio p(x) assume sostituendo a x il numero k R è uguale al resto della divisione di p(x) per il binomio x k. In altri termini: p(k) = r se e solo se la divisione tra p(x) e (x k) dà come resto r Dimostrazione Sappiamo che, dividendo un polinomio p(x) per x k otteniamo: p(x) = q(x)(x k) + r(x) Il grado di r(x) deve essere minore del grado di x k, che è di primo grado: r(x) deve avere, quindi, grado 0; è, perciò, un numero reale che, non contenendo la variabile, possiamo indicare con r. Scriviamo allora: p(x) = q(x)(x k) + r Sostituiamo ora alla variabile x, ovunque essa compare, il valore costante k: p(k) = q(k)(k k) + r = q(k) 0 + r se e solo se p(k) = r Il resto r è proprio il valore p(k) che il polinomio p(x) assume se x = k. c.v.d. 26